Елементи комбінаторики. Початки теорії ймовірностей (стр. 1 из 7)
ЕЛЕМЕНТИ КОМБІНАТОРИКИ
§ 1. Основні принципи комбінаторики
Досить поширеними є задачі, в яких треба знайти або число можливих розміщень предметів, або число способів, якими можна здійснити деякий вибір, тощо. Такі задачі називають комбінаторними, а галузь математики, яка вивчає теорію скінченних множин, комбінаторикою. Найпростіші задачі комбінаторики вимагають підрахунку числа підмножин заданої множини. Основними принципами (правилами) комбінаторики є принцип суми і принцип добутку.
Принцип суми. Якщо множина A містить п елементів, а множина В -т елементів і А ∩ В = Ø, то множина AUВ містить п + т елементів.
Справді, елементи множини А занумеруємо від 1 до п. Серед них немає елементів з множини В, оскільки А ∩ В = 0. Отже, коли ми переходимо до підрахунку елементів, що належать множині В, то починаємо з номера п +1. Далі буде номер п + 2, п + 3 , ..., п + т, оскільки в множині В за умовою т елементів. Цим усі елементи множини AUВ буде вичерпано, вони дістануть номери від 1 до п + т.
Правило суми можна сформулювати ще й так: якщо якийсь вибір А можна здійснити п способами, а другий вибір В можна здійснити т способами, то вибір А або В можна здійснити п + т способами.
Принцип суми за індукцією поширюється на к множин.
Принцип добутку. Нехай маємо дві множини:
А={a1,а2, ..., an}, В={b1b2, ..., bn}.
Тоді множина всіх можливих пар
С={(аi, bi)اi=1, 2, ..., п; j = 1, 2, ..., m} містить п-т елементів.
Розіб'ємо множину С на множини
С={(а1, b1), (а1, b2), …, (а1, bm) }
С={(а2, b1), (а2, b2), …, (а2, bm) }
…………………………………
С={(аn, b1), (аn, b2), …, (аn, bm) }
Неважко помітити, що множини С1, С2, ..., Сn, попарно не перетинаються і C = ClUC2U … UCn. Оскільки кожна з підмножин С1, С2, ..., Сn,містить т елементів, то за принципом суми число елементів в об'єднанні їх дорівнює п•т.
Правило добутку можна сформулювати ще й так: якщо якийсь вибір А можна здійснити п різними способами, а для кожного з цих способів деякий другий вибір В можна здійснити т способами, то вибір А і В у вказаному порядку можна здійснити п • т способами.
Приклад 1. З міста А у місто Б веде 6 шляхів, а з міста Б у місто В 4 шляхи (рис. 298). Скількома шляхами можна проїхати з містам у місто В1 Вибравши один із шести шляхів з міста А у місто Б, далі можемо вибрати шлях від Б до В чотирма способами. Тому на підставі правила добутку дістанемо 6 • 4 = 24.
Приклад 2. До міста А, Б і В додамо ще одне місто Г і кілька нових шляхів (рис. 299). Скількома маршрутами тепер можна дістатися з міста А у місто В?
Розглянемо два випадки: шлях проходить через місто Б або через місто Г. Для кожного з цих випадків за правилом добутку неважко під-| рахувати кількість маршрутів (для першого - 24, для другого - 6). За правилом суми маємо остаточно: 24 + 6 = 30. Отже, загальна кількість маршрутів 30.
Приклад 3. У крамниці продають 5 склянок, 3 блюдця і 4 ложки. Скількома способами можна купити два предмети з різними назвами?
Можливими є три випадки: перший - купують склянку з блюдцем, другий - склянку з ложкою, третій - блюдце і ложку. У кожному з цих випадків за правилом добутку неважко підрахувати кількість можливих варіантів: 15, 20 і 12. За правилом суми маємо остаточно: 15 + 20 + 12 = 47.
Сформулюємо тепер принцип (правило) добутку у загальному вигляді.
Нехай треба виконати одну за одною kдій. Якщо першу дію можна виконати n, способами, другу- п2 способами,..., k-ту- пkспособами, то всі kдій разом можуть бути виконані n способами, де п =п2•п2 •...• пk.
§ 2. Перестановки
Нехай треба підрахувати число способів, за якими можна розмістити в ряд nпредметів. Якщо дані предмети розглядати як елементи множини то кожне розміщення є скінченною множиною, елементи якої записано у певному порядку.
Скінченні множини, для яких істотним є порядок елементів, називаються впорядкованими. Вказати порядок розміщення елементів у скінченній множині з п елементів означає поставити у відповідність кожному елементу даної множини певне натуральне число від 1 до п .
Дві впорядковані множини називаються рівними, якщо вони складаються з тих самих елементів і однаково впорядковані. З цього випливає, що множини (а, b, с) і (b, с, а) - це різні впорядковані множини.
Означення. Будь-яка впорядкована множина, що складається з п елементів, називається перестановкою з п елементів.
Перестановки з п елементів складаються з одних і тих самих елементів, а відрізняються одна від одної лише порядком.
Наприклад, з елементів множини А = {1, 2, 3} можна утворити шість перестановок: (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2), (3, 2, 1).
Число перестановок у множині з п елементів позначають Рп .
Доведемо, що
Рп=n!,(1)
де п! = 1•2• ... •п .
Для доведення застосуємо метод математичної індукції.
1. Якщо п = 1, маємо Рп =1 = 1!; тобто формула (1) виконується.
2. Припустимо, що для n = 1 рівність Рк = k! виконується (п і k -натуральні числа).
Доведемо, що для п = k +1 виконуватиметься рівність
Рk+1=(к + 1)!
На перше місце можемо поставити будь-який з k+ 1 елементів множини. Тоді kмісць, які залишилися, можна задавати будь-якою перестановкою з kелементів. Число таких перестановок Рk. Таким чином, перестановку з k + 1 елемента даної множини можна розглядати як пару: на першому місці - елемент множини, на другому - перестановка з kелементів, що залишились (таких перестановок Рk). На підставі принципу добутку число всіх перестановок (всіх таких пар)
Рk+1=(к + 1) Рk ,(1)
З формули (2) дістаємо
Рk+1=(к + 1) Рk = Рk • (к + 1) =k! • (k+1)=1•2•…•k• (k+1)=(k+1)!
Приклад 1. Скількома способами можна розмістити в один ряд червону, синю, чорну та зелену фішки?
Р4 = 4! = 1•2•3•4 = 24.
Приклад 2. Скількома способами можна розмістити за столом 10 чоловік?
Р10=10! = 1•2•3•4•5•6•7•8•9•10 = 3628800.
§ 3. Розміщення
Нехай деяка множина складається з п різних елементів.
Означення. Розміщеннями з п елементів по kназиваються підмножини, що мають kелементів, вибраних з даних п елементів і розміщених у певному порядку (k<п).
Розміщення можуть відрізнятися одне від одного або самими елементами, або порядком їх розміщення.
Наприклад, нехай маємо три елементи: 1, 2, 3. Тоді розміщення з трьох елементів по два мають вигляд: (1, 2), (1, 3), (2, 1), (3, 1), (2, 3), (З, 2). Розміщення (1, 2) і (2, 1) відрізняються лише порядком. Вони утворюють два різних числа 12 та 21. Розміщення (1, 2) і (1, 3) відрізняються самими елементами. Вони утворюють два різних числа 12 і 13.
Кількість розміщень з даних п елементів по kпозначають через Аkn, = k < п.
Доведемо, що
Аkn= n(n-1)(n-2)...(n-(k-1)).(1)
Якщо множина містить п елементів, то при утворенні розміщень по одному елементу таких розміщень буде п (стільки, скільки елементів у множині). Отже, Аkn= п.
Утворимо тепер розміщення з п елементів по два. Для цього візьмемо п розміщень по одному елементу і до кожного розміщення допишемо кожний з решти п -1 елементів даної множини. Таким чином, Аkn= n(n-1).
Застосуємо метод математичної індукції. Припустимо, що для А2n правильною є формула (1). Розміщення з п елементів по k + і можна розглядати як пару: на першому місці будь-яке розміщення з п елементів по k(їх кількість Аkn ), на другому - будь-який елемент з решти п - kелементів. За правилом добутку дістанемо
Аnk +1= Аnk(n-k). (2)
Користуючись формулою (1), маємо
Аnk +1=п(п-1)(п-2)...(п-(k-і))(п-k) = = n(n- 1)(n - 2)...(n- (k-1))(n-(k +1-1)).
Оскільки
то формулу (1) можна записати ще так:
. (3)Приклад 1. Скількома способами можна вибрати з 10 кандидатів три особи на три різні посади?
Для розв'язування задачі треба знайти число розміщень з 10 елементів по три. Отже, за формулою (1) маємо
A310 =10•9•8 = 720.
Приклад 2. Скільки трицифрових чисел з різними цифрами можна утворити з цифр 0, 1,2, 3, 4?
Загальна кількість трицифрових чисел з різними цифрами є кількістю
розміщень з 5 елементів по три, тобто А35= 5 • 4 • 3 = 60. Проте із загальної кількості чисел треба відкинути числа, що починаються з нуля. Таких чисел стільки, скільки можна утворити розміщень з чотирьох цифр по два без нуля, тобто А24=4•3 = 12. Отже, шукана кількість трицифрових чисел дорівнює 60 - 12 = 48 .
§ 4. Комбінації
Означення. Будь-яка підмножина з kелементів даної множини, яка містіть п елементів, називається комбінацією з п елементів по k.
З одного елемента можна утворити тільки одну комбінацію. З двох елементів а і bможна утворити дві комбінації по одному елементу і тільки одну комбінацію з двох елементів.
З трьох елементів a, b, cможна утворити такі комбінації:
{a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, {a,b,c}.
Комбінації з п елементів даної множини по kможна також розглядати як розміщення з п елементів по k, які відрізняються принаймні одним елементом. Виникає запитання, як визначити кількість комбінацій з n елементів по k. Число комбінацій з п по kпозначається Сkn . Доведемо, що
. (1)Розглянемо множину, яка складається з п елементів, і комбінації, які складаються з kелементів. Всього комбінацій Сkn. Якщо з кожної такої комбінації утворити всі можливі перестановки (їх буде Рk= k!), то дістанемо всі можливі розміщення з п елементів по к, тобто число Аkn. Отже,