Застосування сплайн-функцій до розв’язування задач інтерполяції (стр. 2 из 6)

(5)

Єдине обмеження полягає в тому, що В-сплайни повинні відповідати умові:

Зокрема, якщо

, то

[2].

В-сплайн степеня

, побудований на числовій прямій по розбиттю

, визначається наступною рекурентною формулою:

, (6)

де

. (7)

При однаковій відстані між сусідніми вузлами В-сплайни називаються однорідними, в протилежному випадку неоднорідними. Для однорідних B-сплайнів, базисні B-сплайни однакового степеня є зміщеними екземплярами однієї функції [3].

Нерекурсивним визначенням базисних B-сплайнів є

, (8)

де

[3]. (9)

1.3 Лінійні B-сплайни

Лінійні B-сплайни є неперервними, але не диференційованими.

Скориставшись рекурентною формулою (6), отримаємо формулу для лінійного В-сплайна:

(10)

Підставивши у (10) формулу (5) маємо:

(11)

Або у випадку рівномірної сітки з кроком

(

) отримаємо:

(11’)

Нижче на малюнку 1 представлено графік В-сплайна 1-го порядку:

Мал. 1 - Графік В-сплайна

1.4 Квадратичні B-сплайни

Із рекурентної формули (6), отримаємо наступну форму запису квадратичного В-сплайна:

(12)

Тепер ми можемо, або скористатись лише формулою (11), підставивши її у (12) отримаємо:

(13)

А у випадку рівномірної сітки з кроком hматимемо:

(13’)

Або спершу в (12) підставимо (10) і, зробивши відповідні перетворення, отримаємо квадратичний В-сплайн в вигляді:

, (14)

а потім в (14) підставимо (5) і отримаємо ту ж саму формулу (13) [4].

Графік В-сплайна 2-го -

- степеня представлено на малюнку 2:

Мал. 2 - Графік В-сплайна

В-сплайн довільного степеня

може бути відмінним від нуля лише на деякому відрізку (визначеному

вузлами)[4].

2 Кубічні B-сплайни

2.1 Формули задання кубічних B-сплайнів

Зробивши аналогічні дії, що й при квадратичному В-сплайні, ми отримаємо формулу (15) для кубічного В-сплайна:

Зауваження. Кубічні В-сплайни зручніше нумерувати так, щоб сплайн

був відмінний від нуля на відрізку

[5]. Запишемо тепер

у випадку рівномірної сітки (з кроком

) його:

(15’)

Типічний графік кубічного В-сплайну показано на мал. 3:

Мал. 3 - Типічний графік кубічного В-сплайну

2.2 Базис у просторі кубічних сплайнів

Функція

а) двічі неперервно диференційовна на відрізку

;

б)відмінна від нуля тільки на чотирьох відрізках

Відрізок

називають носієм функції

[6].

Доповнимо розбиття

допоміжними вузлами:

,взятими довільно.

За розширеною сіткою:

можна побудувати сім’ю з

кубічних В-сплайнів:

Ця сім’я утворює базис в просторі кубічних сплайнів на відрізку

. Тим самим довільний кубічний сплайн

, побудований по розбиттю

із

вузла, може бути представлений на цьому відрізку в вигляді лінійної комбінації:

Умовами задачі коефіцієнти

цього розбиття визначаються однозначно [7].

2.3 Задачі інтерполяції з граничними умовами першого та другого роду

У випадку коли задані значення

функції в вузлах сітки і значення

першої похідної функції на кінцях сітки (задача інтерполяції з граничними умовами першого роду), коефіцієнти

обчислюються із системи наступного вигляду:

, де

(16)

Після виключення

отримується лінійна система з невідомими

і 3-діагональною матрицею, яку можна розв’язати, як методом Гауса, так і методом прогонки [8].

При розв’язанні задачі інтерполяції другого роду використовують значення похідних другого порядку на кінцях сітки:

. І коефіцієнти

вже обчислюються із системи:

(16’)

таким самим чином, як і під час розв’язування задачі інтерполяції першого роду.

2.4 Апроксимація кубічними В-сплайнами