Застосування сплайн-функцій до розв’язування задач інтерполяції (стр. 3 из 6)

Нехай задана таблиця чисел

і , котрі є значеннями функції і її першої похідної у вузлах a_i, i =0,1, ..., N. Необхідна апроксимувати функцію W(a) з допомогою цих даних.

Розглянемо апроксимацію кубічними В-сплайнами. Конструкція нормованого

кубічного В-сплайна зазвичай задається так:

(17)

В правій частині (17) стоять многочлени третього степеня виду:

(18)

Коефіцієнти a_i , b_i , c_i , d_i визначаються із системи чотирьох рівнянь, отриманих при умовах:

и . В результаті її розв’язку можна записати:

(19)

, ,

При конкретизації виразу (18) використовуються формули (19), що задовольняють умови стику у вузлах a_i-2, a_i-1, a_i , a_i+1 для сплайнів:

(20)

Та їх похідних по a, позначених штрихом:

(21)

В роботі Б.Зав’ялова [6] для рівномірної сітки

i=0,1, ... , N, задовольняючи наступні умови (20), (21), отримано такий вираз для

Тут

, а також з’ясовано, що S₀=2/3, S_*=1/6, S_**=1/2h.

Загальний інтерполяційний вираз, в якому використовуються нормовані кубічні В-сплайни (22), записуються так:

, (23)

де

, а . Коефіцієнти b_i+1,b_i+2 визначаються із умов, що задовольняють значення функції W(a), відомих в деяких вузлах . Зазвичай вибирають , , а задовольняють нерівність: .

Запишемо (23) в розгорнутому вигляді. Для цього, використавши (22) отримаємо всі вирази для

. Сплайн отримаємо із четвертої рівності (22), якщо там формально замінити x на 1+ x . Тоді

(24)

Вираз для

береться безпосередньо із (22)

(25)

Сплайн

записується на основі другої рівності (22) шляхом формальної заміни x на x-1

(26)

І, нарешті із першого виразу (22), замінюючи x на x-2, отримаємо:

. (27)

Тоді остаточний варіант інтерполяційного виразу, основаного на застосуванні нормованих кубічних В-сплайнів, отримаємо шляхом підстановки виразів (24)-(27) в (23)

(28)

Вираз (28) дає четвертий порядок апроксимації функції

по кроку h 0( h⁴ ) . Якщо в формулі (28) виключити коефіцієнти, виразивши їх через значення апроксимуючої функції у вузлах, то отримаємо:

, де (29)

(30)

Більш високий порядок апроксимації можна отримати за допомогою так званих напружених сплайнів, при цьому інтерполяційний вираз (29) зберігає свій вигляд, а функції, які входять до його складу задаються так:

, (31) де

; ; ;

; ; .

Інтерполяційний вираз виду (29) використовується, як для визначення шуканих величин між вузлами координатної сітки, так і для апроксимації частинних похідних, котрі входять до складу повної системи рівнянь [8].

2.5 Практичність вивчення кубічних В-сплайнів у вищих навчальних закладах

В-сплайни є більш практичні у використанні ніж природні сплайни, оскільки поліноміальні коефіцієнти природних сплайнів вимагають всіх

вузлових точок. Їх обчислення залучає розв’язання вимірних матриць. У цьому є два недоліки: переміщення однієї вузлової точки зачіпає всю криву і під час розв’язування матриці можна зіткнутися з швидкою зміною кривої. З іншого боку, В-сплайни складаються з сегментів кривих, залежних тільки від кількох вузлових точок. Це називається локальним контролем. Таким чином, переміщення вузлової точки зачіпає тільки маленьку частину кривої. B-сплайни мають ту ж саму неперервність, як і природні сплайни, але не інтерполюють їх вузлові точки. Тому, ми говоримо про наближення багатокутника, а не про вставку вузлової точки.

Першим кроком є вибір порядку базису сплайнів, щоб досягати бажану гладкість і полегшити обчислювання.

Як найефективніші, були вибрані кубічні В-сплайни, тобто сплайни третього порядку, через наступні причини:

1. Поліноми нижніх степенів дають дуже низьку гнучкість в управлінні формою кривої. В-сплайни першого порядку (прямі лінії) не дають задовільної гладкості апроксимуючої кривої. В-сплайни другого порядку дають гладку криву, але проблема виникає в точках, де з'єднуються сегменти кривої. Щоб зрозуміти цю проблему, ми введемо нове означення:

Означення. Позначимо

сегмент кривої. Якщо напрям і величина і рівні в точці з'єднання, крива, що складається з цих двох сегментів, називається неперервною.

В-сплайни другого порядку

і неперервні, що не гарантує задовільну неперервність в об'єднаних точках. Проблема вирішується, використовуючи кубічні В-сплайни, які є , і і неперервними.