2.Поліноми вищого степеня віднімають багато часу в обчислювальному процесі і можуть нести небажані скачки. Крива може "скакати" назад і вперед важко керованими способами.
3. Кажучи, що кубічні В-сплайни дають "задовільну" неперервність, мається на увазі, що око не може виявити геометричну неоднорідність степеня вище, ніж два і практично досить використовувати В-сплайни третього ступеня [9].
Отже, хоч кубічні В-сплайни і є методом, важчим у розрахунках, ніж інші, відомі методи, які застосовуються у задачах для наближення, але він дає набагато точніший результат, і є просто незамінним при розв’язуванні задач, які неможливо розв’язати іншими методами.
3.Практична частина
3.1 Задача №1
Потрібно інтерполювати (використовуючи задачу першого або другого роду) одну з відомих функцій, з допомогою кубічних В-сплайнів, у випадку рівномірної сітки розбиття.
Розв’язання: Для розв’язання цієї задачі візьмемо функцію
і отримаємо наступну систему:
,
Розв’язавши систему (33), знайдемо коефіцієнти
(де у нашому випадку
Отже необхідно знайти і підставити відповідні значення та розв’язати матричне рівняння:
де
Для нашої функції
,
,
,
.
Тоді три діагональна матриця
підставивши їх у матричне рівняння, отримаємо вектор
Отже, маємо інтерполяційний сплайн функції
Побудуємо його графік (в середовищі Matlab):
Мал. 4, 5 – Графіки функції
На малюнку 4 зображено графік функції
Мал. 6, 7 – Розбіжності
Для цього будемо шукати максимальну похибку на кожному з відрізків розбиття. Скористаємося наступними формулами:
Мал. 8 – Графік, побудований в середовищі Mathcad
|
Мал. 9 – Найбільша похибка відрізку
Як видно з малюнка 9, найбільша похибка на даному відрізку приблизно дорівнює:
Аналогічно розглянемо всі проміжки розбиття і знайдемо максимальні значення похибок на кожному з них, які представлені в наступній таблиці:
сегмент | | | |
| 0,27 | -2,023 | 0,021% |
| 0,82 | -1,472 | 0,022% |
| 1,36 | -0,584 | 0,028% |
| 1,78 | 0,584 | 0,028% |
| 2,34 | 1,489 | 0,021% |
| 2,88 | 2,023 | 0,021% |
З таблиці видно, що максимальна похибка менша за 0,03%, і, оскільки, задовільною вважається похибка менша чим 5%, то отриману можна вважати практично нульовою.