Застосування сплайн-функцій до розв’язування задач інтерполяції (стр. 1 из 6)

Міністерство освіти і науки України

Черкаський національний університетІмені Богдана Хмельницького

Кафедра математики та методики навчання математики

Кваліфікаційна робота з математики

Застосування сплайн-функцій до розв’язування задач інтерполяції

Автор:

Вишемірська Тетяна Володимирівна

Четвертий курс, денна форма навчання, математичний факультет

Науковий керівник:

Доктор фізико-математичних наук, професор

Стеблянко Павло Олексійович

Черкаси 2010

Зміст

Вступ

1.В-сплайни

1.1Базис із В-сплайнів

1.2В-сплайни нульового степеня та рекурентна форма запису В-сплайнів вищих порядків

1.3Лінійні В-сплайни

1.4Квадратичні В-сплайни

2. Кубічні В-сплайни

2.1Формули задання кубічних B-сплайнів

2.2Базис у просторі кубічних сплайнів

2.3 Задачі інтерполяції з граничними умовами першого та другого роду

2.4.Апроксимація кубічними В-сплайнами

2.5Практичність вивчення кубічних В-сплайнів у вищих навчальних закладах

3. Практична частина

3.1Задача №1

3.2Задача №2

Висновки

Список використаних джерел

Вступ

Сплайн-інтерполяція на сьогоднішній день є одним із найточніших методів наближення. В теорію наближень сплайни ввійшли зовсім недавно і відразу ж зайняли в ній досить важливе місце. Буквально протягом кількох років для сплайнів були розв’язані апроксимаційні задачі, на розв’язання яких для поліномів були потрачені десятиліття. З подальшим вивченням і застосуванням сплайн-функцій, знадобилося їх певне спрощення, для полегшення розрахунків. Саме тоді і з’явилися В-сплайни, які як виявилося не тільки є простішими для обчислень, але й дають більшу точність наближення, що є дуже важливим при розв’язуванні практичних задач.

Актуальність: Сьогодні сплайн-функції відіграють дуже важливу роль, вони входять в курс «Чисельні методи», як додатковий метод інтерполяції, а також використовуються в курсі «Рівняння математичної фізики» для розв’язування нерозв’язних диференціальних рівнянь; з допомогою сплайнів і В-сплайнів (в основному кубічних) розв’язуються (з великою точністю) ті задачі, які не можна розв’язати іншими, відомими, методами.

В-сплайн – це крива з неперервними старшими похідними до n-ої, де n– порядок сплайна.

Мета курсової роботи: Розглянути кубічні В-сплайни, а також лінійні та квадратичні В-сплайни, форми їх запису та формули для розрахунків інтерполяційних задач, рекурентні формули для представлення В-сплайнів 1-го, 2-го, 3-го та вищих порядків. З’ясувати практичність застосування Кубічних В-сплайнів у ВНЗ при розв’язуванні задач інтерполяції. Застосувати на практиці отримані знання.

Для досягнення мети були поставлені такі завдання:

– знайти і опрацювати літературу із даної теми;

– систематизувати опрацьований матеріал;

– отримати формули для розрахунків інтерполяційних задач;

– визначити практичність кубічних В-сплайнів в порівнянні з іншими сплайнами і В-сплайнами;

1B-сплайни

1.1 Базис із В-сплайнів

Одним з найширше використовуваних представлень кривих в комп'ютерному баченні є представлення у вигляді В-сплайну. Важливо розрізняти сплайни і В-сплайни. В-сплайни є поліноміальними функціями. Сплайни є лінійною комбінацією В-сплайнів. У літературі сплайни зазвичай визначаються як різні види степеневої функції. Для обчислень зручніше визначати сплайни рекурсивними функціями.

Приймемо без доведення наступну лему, яку буде використано для доведення важливої теореми:

Лема 1. Нехай

- множина сплайнів порядку mдефекту1 порозбиттю . Якщо і сплайн із задовольняє умови , то на .

Теорема 1. Системаіз

В-сплайнів

, (1) порядку за розбитям з носіями єбазисом в .

Доведення. Нехай

, ; (2) потрібнодовести,що ( ).Безпосередньо із визначенняВ-сплайнів (1)виплива, що при ;але тоді з урахуванням(2)

, ів силулеми1 для . Таким чином,

, .(3)

Оскількинапроміжку

, а при , тоіз(3)слідує,що , такщо

, .

Для

при і при , а тому і

, .

Розмірковуючи аналогічно,далі прийдемодорівності

що йтребабулодовести.

Наслідок1.Будь-якийсплайн

із єдиним чином представляється у вигляді

, .(4)

Якщо сплайн

із однозначно визначається деяким набором із інтерполяційних умов, то, підставляючи в ці умови замість суму (4), отримаємо систему лінійних рівнянь для визначення коефіцієнтів . Усилу скінченності носіїв сплайнів в кожному рядочку визначника цієї системи, не дорівнюватимуть нулю лише елементів - значення сплайнів (або їх похідних) в одній із точок розбиття . При цьому не нульові елементи, які відповідають внутрішнім умовам інтерполяції, будуть розміщені вздовж головної діагоналі визначника. Саме це і забезпечує, принаймні для малих , простоту обчислення коефіцієнтів лінійної комбінації (4) [1].

1.2 В-сплайн нульового степеня та рекурентна форма запису В-сплайнів вищих порядків

В-сплайном нульового степеня, побудованим на числовій прямій по розбиттю

, називається функція вигляду: