Математическая логика (стр. 6 из 7)

Для булевых функций существуют различные способы представления: таблица истинности, числовой, аналитический.

Пример.

Пусть функция

задана таблицей истинности:

№ набора	х₁	х₂	х₃
0	0	0	0	1
1	0	0	1	0
2	0	1	0	0
3	0	1	1	1
4	1	0	0	1
5	1	0	1	0
6	1	1	0	0
7	1	1	1	0

В таблице в первом столбце под номером набора понимается десятичный эквивалент соответствующего двоичного набора.

Тогда запись

или

является числовым представлением этой функции, где в скобках показаны номера наборов, на которых функция принимает значение 1.

Запись

представляет собой аналитическое представление булевой функции.

Можно в выражении функции вместо конъюнкций термов записать соответствующие двоичные наборы. Тогда получим:

Булеву функцию можно задать с помощью единичного п – мерного куба (рис. 7).

Рис. 7

Единичным п – мерным кубом называется граф, каждая вершина которого взаимно однозначно соответствует двоичному набору. Две вершины соединены ребром, если соответствующие наборы отличаются только в одном разряде (в одной координате).

На рис. 7 показаны п-мерные кубы для булевых функций: двух переменных (а), трех переменных (б), четырех переменных (в).

Отметив вершины, в которых булева функция принимает единичные значения, получим геометрическое представление булевой функции. Так функция

примет вид:

Рис. 8

Часто для изображения булевых функций двух и трех переменных используют прямоугольную систему координат:

Рис. 9

Изображение булевых функций числа переменных более трех в этом случае невозможен.

В методе минимизации булевых функций Квайна – Мак-Класки используется кубическое представление булевых функций (аналог п-мерных кубов).

Терм максимального ранга принято называть 0-кубом и обозначать К ⁰. Если два 0-куба из комплекса К ⁰ различаются только по одной координате, то они образуют куб (отрезок) K ¹.

Пример.

Для

5. Минимизация булевых функций

Импликантой функции называют некоторую логическую функцию, которая обращается в ноль на том же наборе переменных, на котором равна нулю сама функция.

Любой конъюнктивный терм (элементарная конъюнкция) или группа термов, соединенных знаками дизъюнкции, входящие в СДНФ, являются импликантами исходной функции

Элементарная конъюнкция (конъюнктивный терм), в которой удален один или несколько первичных термов, называется простой импликантой.

Методов минимизации булевых функций в настоящее время существует довольно много. Все они, как правило, состоят из двух этапов. На первом этапе получают список всех простых импликант, т.е. сокращенную ДНФ. На втором этапе, используя таблицу покрытий, удаляют “лишние” импликанты, покрывемые другими импликантами. В результате получают ДНФ, из которой нельзя удалить ни одной импликанты. Такую ДНФ называют тупиковой.

5.1 Метод Квайна

На первом этапе в методе Квайна попарно сравнивают все импликанты, входящие в СДНФ, в целях выявления возможности поглощения какой-то переменной на основе закона склеивания:

Процедура продолжается до тех пор, пока не останется ни одного члена, допускающего поглощение с другим термом. В результате получают некоторое количество простых импликант. Дизъюнкция этих импликант является сокращенной ДНФ.

На втором этапе строится таблица покрытий.В строках этой таблицы указываются найденные простые импликанты, а в столбцах – термы исходного выражения функции. Клетки таблицы отмечаются, если простая импликанта входит в состав какого-либо терма. В итоге минимизация булевой функции сводится к тому, чтобы найти такое минимальное количество простых импликант, которые покрывают все столбцы. В результате получают тупиковую ДНФ.

Недостаток метода–необходимость попарного сравнении всех конъюнктивных термов на первом этапе при нахождении простых импликант. С ростом числа исходных термов увеличивается количество попарных сравнений, что усложняет решение задачи минимизации.

5.2 Метод Квайна с применением п-мерных кубов

Данный метод устраняет недостаток предыдущего метода, т.е. устраняет необходимость попарного сравнения всех термов на первом этапе при нахождении простых импликант. Для этого строится п-мерный куб, по которому визуально можно определить те конъюнктивные термы, склеивание которых порождают простые импликанты.

При решении задачи минимизации булевой функции удобно вместо конъюнктивных термов использовать, соответствующие им, двоичные наборы.

Пример.

Минимизировать булеву функцию

Здесь в скобках стоят десятичные эквиваленты соответствующих двоичных наборов.

Представим функцию в виде СДНФ:

Запишем конъюнктивные термы в виде двоичных наборов:

Построим единичный 4 – мерный куб и выделим вершины, соответствующие двоичным наборам, входящим в заданную булеву функцию (рис. 10):

Рис. 10

1 этап. Определение сокращенной ДНФ.

Применим закон склеивания для отмеченных вершин (для двоичных наборов) куба, соединенных ребром:

Прочерк означает, что переменная в этом месте отсутствует.

Для некоторых простых импликант склеивание можно продолжить:

По закону идемпотентности:

Дизъюнкция полученных простых импликант является сокращенной ДНФ:

2 этап. Определение тупиковой ДНФ.

Для определения тупиковой ДНФ построим таблицу покрытий, в которую следует включать и двоичные наборы, не участвовавшие в склеивании:

Простые импликанты	Исходные термы
Простые импликанты	0011	0100	0101	0111	1001	1011	1100	1101
0 – 11	*			*
	*					*
			*	*
10 – 1					*	*
1 – 01					*			*
		*	*				*

Определяя минимальное число строк, покрывающих все столбцы таблицы, находим тупиковую ДНФ:

Недостатком метода является само построение п – мерного куба, т.к. при числе переменных

это построение затруднительно.

5.3 Метод Квайна – Мак-Класки

Метод Квайна – Мак-Класки представляет собой предыдущий метод, но без геометрического построения п – мерных кубов: кубы присутствуют, но абстрактно.

Метод основан на кубическом представлении конъюнктивных термов ДНФ с предварительным разбиением кубов на подгруппы, определяемые одинаковым числом единиц. Разбиение дает возможность сравнивать кубы только соседних по числу единиц групп для уменьшения количества переборов.