Математическая модель системы слежения РЛС (стр. 4 из 15)
Целью данной работы является создание математической модели устройства, позволяющего адекватно управлять объектом при наличии ограничений на управление, причем главным условием ставится минимизация времени переходного процесса системы. Предполагается, что наиболее успешным и перспективным решением такого рода задач будет решение на базе теории принципа максимума Понтрягина.
В данной работе рассматривается радиолокационная установка, которая представляет собой совокупность как минимум двух синхронно вращающихся антенн, приводимых в движение электроприводами. В данной системе существует ведущий электропривод, который задает параметры вращения, и ведомый, который должен в точности повторять траекторию движения ведущего.
Предполагается, что тип двигателей, приводящих в движение эти антенны, не имеет для данной работы особого смысла. Сделаем следующее допущения: в данной системе есть возможность измерять в каждые заданные моменты времени положение ведущей антенны, т.е. есть возможность получать информацию о траектории ведущей антенны. Таким образом в связи со сделанными допущениями, система представляет собой совокупность двух электроприводов.
Ставится следующая задача: ведомый двигатель должен двигаться синхронно с ведущим. Система должна отрабатывать заданную траекторию с необходимой точностью и максимальным быстродействием.
В начальный момент времени оба двигателя могут быть рассинхронизированы. Конкретизируем задачу: необходимо за минимальный промежуток времени вывести ведомый двигатель на траекторию ведущего, причем в конце переходного процесса должны совпадать не только угол j, но также и скорость w, т. е., другими словами, ведомый двигатель попав на нужную траекторию, должен находиться на ней. Главным условием ставится минимизация времени переходного процесса. Таким образом ставится задача оптимально быстродействия.
Достижение указанной цели обусловлено решением следующих задач:
1. Построение оптимального программного управления системы слежения РЛС;
1.1. Построение оптимизационного функционала;
1.2. Вычисление точек переключения;
1.3. Нахождение оптимальных траекторий;
2. Моделирование полученной системы управления;
3. Проверка сделанных гипотез.
Предполагается, что процесс управления будет иметь циклический характер, так как в результате одного шага управления координаты ведущего и ведомого двигателей будут совпадать с некоторой погрешностью, которая в свою очередь будет являться начальными данными для следующего шага управления и т.д.
Запишем поставленную цель управления в виде:
(1.12)где — J, T — целевые функционалы по ошибке и времени;
— выходные координаты ведомого двигателя; 
— выходные координаты ведущего двигателя.Выходные координаты ведущего двигателя в данном случае являются заданием.
Как было сказано выше, в реальных системах всегда существуют ограничения на управление, обусловленные техническими особенностями реальных объектов. В данном случае — это ограничение на напряжение якоря двигателя. Эти условия представляют собой ограничения на величину и на скорость изменения управляющего параметра U. Таким образом эти ограничения выделяют в пространстве управлений некоторое подпространство, называемое, как было сказано выше, областью управления. Область управления представляет собой r-мерный параллелепипед.
В теории принципа максимума было доказано, что управление будет оптимальным в случае движения по граням параллелепипеда области управления. В нашем случае областью управления является прямоугольник, так как множество управлений представляет собой пространство R2. Управление будет представлять собой кусочно-непрерывную функцию.
Движение системы в фазовом пространстве должно проходить по оптимальным траекториям. Оптимальной траектория будет лишь в случае приложения оптимального управления, характер которого описан выше.
Для отыскания оптимального перехода в смысле быстродействия необходимо получить множество оптимальных траекторий. Это множество является общим решением системы уравнений, описывающих объект, при приложенном оптимальном управлении. Вид этих кривых будет описан ниже в главе 2.
Будем решать задачу в базисе ошибок.
Задавшись выражением (1.13)
(1.13)где
— выходные координаты ведомой системы, 
— выходные координаты ведущей системы, являющиеся заданием, 
— ошибка и скорость ошибки, можно сформулировать задачу в базисе ошибки: за минимальный промежуток времени вывести ошибку e и ее производную 
в нуль.Так как оптимальное управление имеет вид кусочно-непрерывной функции имеющей точки переключения, то движение системы в базисе ошибок будет проходить по кривым, имеющим конечное число точек переключения (а соответственно и интервалов постоянства), соответствующим точкам переключения управляющего параметра. Таким образом возникает проблема нахождения моментов времени, в которые необходимо изменить значение (переключить) управляющего параметра.
Таким образом общая задача сводится к нахождению области управления, нахождению вида оптимальных траекторий и вычисление моментов времени точек переключения управляющего параметра.
В результате решения общей задачи, сформулированной выше, должен быть получен общий алгоритм функционирования системы оптимального управления, который необходимо оптимизировать для использования в микроконтроллерах.
2 Система оптимального управления
2.1 Математическое описание электромеханической системы
В данной работе рассматривается радиолокационная установка, которая представляет собой совокупность как минимум двух синхронно вращающихся антенн. В данной системе одна из антенн является ведущей — она задает параметры движения, другая — ведомая, которая должна в точности повторять траекторию движения ведущей.
Каждая из антенн представляет собой сложную электромеханическую систему, представляющую собой совокупность таких составных частей как электропривод, редуктор и собственно принимающая антенна. Основным источником механической энергии является электропривод. Редуктор служит для преобразования угловых скоростей и соответственно вращающих моментов, выдаваемых двигателем. Редукторы могут быть зубчатые (в том числе червячные) или гидравлические.
Напомним, что в разделе 1.5 были сделаны следующие допущения: в данной системе есть возможность измерять в каждые заданные моменты времени положение ведущей антенны, т.е. есть возможность получать информацию о траектории ведущей антенны; тип двигателя, приводящего в движение антенны является не существенным для данной работы.
Применяемые в настоящее время регулируемые и следящие электроприводы (ЭП) построены, в основном, с применением принципов подчиненного регулирования координат. В качестве координат выступают ток якоря двигателя, его скорость вращения и угол поворота вала двигателя (перемещение исполнительного органа рабочей машины).
Для решения поставленных в разделе 1.5 задач нет необходимости приводить полное точное математическое описание данной электромеханической системы. Так как нашей целью является не описание процессов, протекающих внутри этой системы, а регулирование поведения данной системы в целом. К тому же, как было видно из описанного выше, современные электромеханические системы имеют сложную структуру и их описание будет громоздким, что не дает возможности применения этого описания в однокристальных ЭВМ, на которые ориентируется данный разрабатываемый метод.
В связи с этим предлагается рассматривать данную электромеханическую систему как один неразделимый блок, не останавливаясь на конкретных процессах и взаимосвязях имеющих место быть, т.е. рассматривать данную систему как, так называемый, «черный ящик». На рисунке 2.2 приведена условное изображение этой системы в виде «черного ящика». Известно, что выходными координатами системы являются угол j и скорость w поворота исполнительного органа рабочей машины (вала двигателя). Входной координатой является момент М, характеризующий тормозящий момент на валу двигателя, развиваемый рабочей установкой; момент сил трения в подшипниках, о воздух, на коллекторе электрической машины и в зубчатых передачах редуктора; тормозящий момент, вызываемый потерями на гистерезис и вихревые токи в сердечнике якоря. Управляющим параметром, в данном случае, является напряжение U на якоре электродвигателя.