Математическая модель системы слежения РЛС (стр. 5 из 15)
Объекты и системы управления состоят из элементов, имеющих различную природу. Для анализа их взаимодействия удобно перейти к единообразному, стандартному описанию.
Так как разрабатываемый метод ориентируется на использование в однокристальных ЭВМ, то описание системы необходимо производить в дискретном виде. Для этого в описании динамической системы вместо дифференциальных уравнений предложено использовать уравнения в конечных разностях или разностные уравнения.
Для математического описания данной системы было предложено использовать разностное уравнение специального вида, которое носит название авторегрессионно-регрессионной модели объекта (АРРМ).
Общий вид авторегрессионно-регрессионной модели порядка (N, L) представлен ниже:
(2.1)где АРЧ — авторегрессионная часть, РЧ — регрессионная часть; N и L — целые числа, определяющие порядок АРРМ (
); N — порядок авторегрессионной, а L — порядок регрессионной части модели; ai и bi — параметры АРРМ. Вектор параметров определяется на этапе идентификации модели. 
Авторегрессионная часть является выходом модели, а регрессионная часть — входом, т.е. yt является выходным процессом, а xt — входным. В частном случае, когда N = 0, модель не имеет входа и называется авторегрессионной моделью, если L = 0, то будет получена регрессионная модель. Графическая интерпретация АРРМ приведена на рисунке 2.3. В отличие от дифференциальных уравнений, авторегрессионно-регрессионные модели могут описывать как непрерывные, так и дискретные по своей природе объекты.
В нашем случае входными процессами являются момент М и напряжение на якоре двигателя U, которое также является управляющим воздействием. Выходным параметром является угол поворота оси антенны. Таким образом вид авторегрессионно-регрессионной модели в нашем случае будет иметь вид:
(2.2)или если принять в качестве выходного параметра скорость w поворота вала, то выражение (2.2) примет вид:
(2.3)где
— параметры модели, (N, M+K) — порядок модели.В режиме холостого хода выражения (2.2) и (2.3) будут иметь вид:
(2.4) 
(2.5)Параметры этих моделей не имеют прямого физического смысла и зависят от выбора шага квантования по времени. Порядок модели как и ее параметры находятся в процессе идентификации.
По своему физическому смыслу модели (2.3) и (2.5) являются устойчивыми, а (2.2) и (2.4) — неустойчивыми. Модели (2.2) и (2.4) являются неустойчивыми, так как выходная координата (угол поворота) постоянно увеличивается при постоянном входном воздействии (напряжении на якоре), а скорость вращения стремится к некоторому определенному значению.
Авторегрессионно-регрессионная модель является устойчивой, если устойчивой является соответствующая ей авторегрессионная модель. Выполнить анализ устойчивости можно после идентификации параметров модели.
2.2 Идентификация авторегрессионно-регрессионной модели
Идентификация динамической системы заключается в отыскании математических моделей, поведение которых подобно поведению самой системы (объекта). Модель объекта необходима для синтеза законов управления, так как управление определяется в результате анализа прогноза поведения объекта.
При использовании в качестве модели объекта АРРМ предполагается, что объект является линейным (хотя бы для рассматриваемых режимов работы) или допускает линейное описание. Реальные же объекты являются нелинейными.
Для идентификации необходимо выбрать порядок модели (ее вид), а затем идентифицировать ее параметры (коэффициенты). Вид модели определяется экспериментально, из заданного списка возможных моделей. Для каждой из них идентифицируются параметры, и оценивается ее точность. На основании анализа точности описания и сложности модели делается вывод о ее пригодности. Таким образом, в общем случае, процесс выбора модели и идентификации параметров является циклическим процессом.
Для описания данной электромеханической системы будем использовать АРРМ, имеющую вид (2.2).
На начальном этапе необходимо выбрать порядок авторегрессионно-регрессионной модели. Для достижения этой цели проводился эксперимент, в котором циклически проводился подбор порядка модели с определением точности полученной на каждом шаге модели, исходя из реальных экспериментально полученных данных. Поиск подходящего порядка модели проводился в диапазоне p = 0..20.
В результате была найдена модель, удовлетворяющая требованиям точности, порядок которой составляет (3, 3). Общий вид АРРМ объекта (электромеханической системы) представлен ниже:
(2.6)Если за основу взять выражение (2.3), то конечная АРРМ будет иметь вид:
(2.7)В режиме холостого хода, когда момент М на валу двигателя равен нулю (т.е.
), выражения (2.6) и (2.7) примут вид: 
(2.8) 
(2.9)Однако перед окончательным выбором вида математической модели, следует упомянуть следующий факт: особенностью рассматриваемой системы является то, что тормозящий момент на валу электропривода имеет константный характер так как обусловлен, как говорилось в разделе 2.1, силами трения, а также, так называемой, ветровой нагрузкой, которая симметрично действует и на разгон и на торможение. Таким образом тормозящий момент существует и равен некоторому константному значению, а следовательно он будет учитываться при идентификации системы автоматически.
Таким образом, первый этап идентификации, на котором был определен порядок модели, выполнен. Далее будут использоваться выражения (2.8) и (2.9).
Вторым этапом идентификации является нахождение численных значений параметров авторегрессионно-регрессионной модели:
, которые по своему смыслу являются весовыми коэффициентами.Нахождение численных значений параметров модели будем производить с помощью метода наименьших квадратов (МНК). В результате применения метода МНК будет получен вектор оценочных значений параметров модели. Суть МНК заключается в минимизации суммы квадратов ошибок исходных уравнений (2.8) для данного набора фазовых координат динамической системы.
Для идентификации параметров необходимо наблюдать входные и выходные фазовые координаты системы. Для нашей системы, как упоминалось выше, входной координатой является Ut, выходной координатой — jt. Данные наблюдений заносятся в таблицу (таблица 2.1):
Таблица 2.1 Исходные данные для идентификации
 | |||||
| t | jt | jt-1 | jt-2 | jt-3 | Ut |
| 1 | j0 | — | — | — | U0 |
| 2 | j1 | j0 | — | — | U1 |
| 3 | j2 | j1 | j0 | — | U2 |
| 4 | j3 | j2 | j1 | j0 | U3 |
| 5 | j4 | j3 | j2 | j1 | U4 |
| … | … | … | … | … | … |
| t | jt | jt–1 | jt–2 | jt–3 | Ut |
Далее из таблицы 2.1 формируются матрицы X и Y, которые имеют вид:
Конечной расчетной формулой МНК является выражение (2.10):
(2.10)где
— вектор-столбец оценочных параметров модели (2.8), X и Y — указанные выше матрицы.Таким образом, в результате вычислений получается вектор-столбец оценочных параметров модели (2.8) имеющий вид:
(2.11)Или
