Математическая статистика (стр. 1 из 2)
Типы средних величин
Средняя величина – это обобщенная количественная характеристика признака в статистической совокупности в конкретных условиях места и времени, которая выражает типичные черты и дает обобщающую характеристику однотипных явлений по одному из варьирующих признаков.
Сущность средней заключается в том, что в ней взаимопогашаются отклонения значений признака отдельных единиц, обусловленные действием случайных факторов, и учитываются изменения, вызванные действием факторов основных. Это позволяет средней отражать типичный уровень признака и абстрагироваться от индивидуальных особенностей, присущих отдельным единицам.
Категорию средней можно раскрыть следующим образом: средняя, являясь обобщающей характеристикой всей совокупности, должна ориентироваться на определенную величину, связанную со всеми единицами этой совокупности –
. Если в данной функции все величины х1 и т.д. заменить их средней величиной 
, то значение этой функции должно остаться прежним, то есть = 
.На практике определить среднюю во многих случаях можно через исходное соотношение средней (ИСС) или ее логическую формулу.
Например, требуется найти среднее выборочное вариационного ряда: 1,2,2,3,3,4,6. Для нахождения воспользуемся формулой ИСС:
Значит, среднее выборочное вариационного ряда равно 3.
В каждом конкретном случае для реализации исходного соотношения потребуется одна из следующих форм средней величины:
− Средняя арифметическая
− Средняя гармоническая
− Средняя геометрическая
− Средняя квадратическая, кубическая и т.д.
Перечисленные средние объединяются в общей формуле средней степенной (при различной величине к)
Средняя арифметическая
Эта форма средней является наиболее распространенной и используется в тех случаях, когда расчет осуществляется по несгруппированным данным. В зависимости от характера имеющихся данных может быть простой или взвешенной.
Предположим, шесть торговых предприятий фирмы имеют следующий объем товарооборота в млн. руб. за месяц:
№1 – 38
№2 – 25
№3 – 41
№4 – 27
№5 – 19
№6 – 29
Для того, чтобы определить средний месячный товарооборот в расчете на одно предприятие, необходимо воспользоваться следующим исходным соотношением:
Используя знакомые условные обозначения, запишем формулу для данной средней:
С учетом этого получим 29,8 млн. руб. В данном случае мы использовали формулу средней арифметической простой (невзвешенной).
Средняя арифметическая взвешенная
При расчете средних величин отдельные значения осредняемого признака могут повторяться, встречаться по несколько раз. В подобных случаях расчет средней производится по сгруппированным данным или вариационным рядам, которые могут быть дискретными или интервальными.
Например, есть данные о сделках по акциям эмитента «х» за торговую сессию: сделка №1 – 700 акций по 420 руб., сделка №2 – 200 по 440 руб., сделка №3 – 950 по 410 рублей. Определим по данному дискретному вариационному ряду средний курс продажи одной акции, что можно сделать только используя следующее исходное соотношение:
ИСС=
В конечном итоге имеем:
Расчет среднего курса продажи произведен по формуле средней арифметической взвешенной.
В отдельных случаях, веса могут быть представлены не абсолютными величинами, а относительными (в процентах или долях единицы). Так, в приведенном выше примере количество проданных в ходе каждой сделки акций соответственно составляют: 37,8%, 10,8%, 51,4%
Тогда получим:
, или х=420*0,378+440*0,108+410*0,514=417,03 руб.На практике наиболее частая ошибка заключается в игнорировании весов в тех случаях, когда они необходимы. Предположим, что имеются данные о себестоимости единицы продукции по двум предприятиям №1 – 37, №2 – 39 руб. Среднюю себестоимость данной продукции можно определить только в том случае, если объемы производства на двух предприятиях совпадают. Тогда средняя себестоимость составит 38 руб.
Но, на первом предприятии за рассматриваемый период может быть произведено, к примеру, 50 единиц продукции, а на втором – 700 единиц. Тогда для расчета средней себестоимости потребуется уже средняя арифметическая взвешенная
Выводы:
1) Использовать среднюю арифметическую невзвешенную можно только тогда, когда точно установлено отсутствие весов или их равенство.
2) При расчете средней по интервальному вариационному ряду для выполнения необходимых вычислений от интервалов переходят к их серединам.
Средняя гармоническая взвешенная используется, когда известен числитель исходного соотношения средней, но неизвестен его знаменатель. Рассмотрим расчет средней урожайности, являющейся одним из основных показателей эффективности производства в агробизнесе.
Допустим, есть несколько районов:
А – валовый сбор в тыс. тонн 52, урожайность 10 ц./га
Б – 40 тыс. тонн и 14 ц/га
В – 31 и 15
Г – 67 и 8
Средняя урожайность любой сельскохозяйственной культуры в среднем по нескольким территориям, агрофирмам может быть определена только на основе следующего исходного соотношения:
Общий валовой сбор получим простым суммированием валового сбора по районам. Данные о посевной площади получим, разделив валовой сбор каждого района на урожайность. С учетом этого определим искомую среднюю, предварительно переведя для сопоставимости тонны в центнеры.
Таким образом, общая посевная площадь данной культуры в целом по области составляла 185,2 тыс. га, а средняя урожайность – 10,3 ц. с одного гектара. В данном случае расчет произведен по формуле средней гармонической взвешенной
Данная формула используется для расчета средних показателей не только в статике, но и в динамике, когда известны индивидуальные значения признака и веса за заряд временных интервалов.
Средняя гармоническая невзвешенная
Эта форма средней используется значительно реже, имеет следующий вид:
.Она может использоваться вместо взвешенной в тех случаях, когда значения wi для единиц совокупности равны. Взвешенные средние используются на практике чаще невзвешенных, поскольку достаточно реже имеют место ситуации, когда веса осредняемых вариантов равны.
Средняя геометрическая
Еще одной формулой, по которой может осуществляться расчет среднего показателя, является средняя геометрическая. Наиболее широкое применение этот вид средней получил в анализе динамике для определения среднего темпа роста.
х – цепной коэффициент роста (варьирующий признак), n – количество периодов, по которым имеются коэффициенты роста.
Предположим, что имеются следующие данные о темпах роста товарооборота фирмы за ряд лет:
Годы 2000 г. 2001 г. 2002 г. 2003 г.
Темпы роста товарооборота (%) 102, 5 109,2 112, 4 101, 5.
Определим средние темпы роста с 2000 по 2003 годы. Значение темпов роста переводим из процентов в коэффициенты и подставляем в формулу средней геометрической.
Таким образом, средние темпы роста товарооборота фирмы составляют 1, 063 или 106, 3% в год.
Среднегодовые темпы роста могут рассчитываться с использованием другой формулы средней геометрической:
Удобство данной формулы состоит в том, что при расчете не требуются данные за все годы периода.
Средняя квадратическая
В основе вычислений ряда сводных расчетных показателей лежит средняя квадратическая:
Наиболее широко этот вид средней используется при расчете показателей вариации, коэффициентов структурных сдвигов, индексов.
Структурные средние
Структурные средние являются особым видом средних величин и применяются для изучения внутреннего строения и структуры рядов распределения значений признака. К таким показателям относятся мода и медиана.
Мода Мо – значение случайной величины, встречающееся с набольшей вероятностью в дискретном вариационном ряду – вариант, имеющий наибольшую частоту (встречается чаще всего).
В интервальных рядах распределения с равными интервалами модой приближенно считают центральный вариант модального интервала, то есть того интервала, который имеет наибольшую частоту. Значение моды для интервального ряда вычисляется по формуле: