Некоторые понятия высшей матаматики (стр. 1 из 3)

Высшая математика

Слушатель – Никифоров Михаил Николаевич

Курс 1. АПМ-03. Семестр осенний. 2003 год.

Матрица – совокупность чисел, записанных в виде прямоугольной таблицы.

Минором для элемента а_ig называется определитель матрицы, полученный из исходной, вычеркиванием i-ой строки и g-ого столбца.

Матрицы с нулевым определителем называются вырожденными или особенными. Особенная матрица обратной не имеет.

.

.

B_pq согласовано с A_mn, если число строк В равно числу столбцов А, т.е. p=n. Одно согласование.

1) Если один столбец или одна строка все нули, то | |=0.

2) Если в матрице имеется 2 равных столбца или 2 равных строки, то | |=0.

3) Треугольная матрица. Все элементы выше или ниже главной диагонали =0. Тогда определитель матрицы равен произведению диагональных элементов.

4) При перемене местами 2 строк или 2 столбцов определитель меняет знак.

5) Определитель матрицы, содержащей 2 пропорциональные строки или столбца равен нулю.

6) Определитель матрицы равен сумме произведений некоторой строки на соответствующие алгебраические дополнения.

Системы уравнений с матрицами

Система 1 совместная, если имеет хотя бы одно решение.

Система 1 определенная, если есть только 1 решение и неопределенная, если более 1 решения.

Ранг матрицы.

Ранг нулевой матрицы равен 0.

Ранг единичной матрицы_nm равен n.

Ранг трипсидальной матрицы равен числу ненулевых строк.

При элементарных преобразованиях матрицы ранг её остается неизменным.

При добавлении к матрице строки или столбца ранг её может только увеличиться или остаться неизменным.

Лекция 5.

.

Замечание: 1)

Нет решения

2)

. n-число неизвестных

а) r=n – одно решение

б) r<n – бесконечное множество решений, зависящих от S=n-r параметров.

Векторная алгебра

Проекция вектора на ось:

Проекцией точки на прямую называется основание перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Проекция АВ на х это число |A^’B^’| взятое со знаком +, если угол острый и со знаком – если угол тупой.

,

.

Скалярное произведение векторов

.

Признак перпендикулярности

.

Векторное произведение векторов

; ;

Объем пирамиды

;

Смешанное произведение векторов

Если

- углы, которые составляет вектор а с координатными осями, то , откуда следует

Условие коллинеарности

ab=0 – перпендикулярность

- коллинеарность

abc=0 – компланарность

Аналитическая геометрия

Плоскость в пространстве

Нормаль и точка привязки однозначно определяют положение плоскости в пространстве.

-

каноническое уравнение (1)

Общее уравнение плоскости

, где ,

где А, В, С – координаты нормали, D – свободный член, x,y,z – текущий координаты.

Уравнение плоскости, проходящий через точку

перпендикулярно вектору N=(A;B;C), имеет вид

Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки записывают в виде

Уравнение плоскости в отрезках

Нормальное уравнение плоскости

, где p – расстояние от начала координат.

Нормирующий множитель

Расстояние от точки до плоскости

Угол между плоскостями

Условия параллельности и перпендикулярности

;

Уравнение пучка плоскостей:

Прямые линии в пространстве.

-уравнение прямой

- параметрическое уравнение прямой.

- каноническое уравнение прямой.

Уравнения прямой, проходящей через 2 заданные точки

Угол между 2 прямыми

Взаимное расположение 2 прямых.

1.

(могут лежать и на одной прямой)

2.

(могут скрещиваться)

3.

. Если (3) , то скрещиваются.

Взаимное расположение прямой и плоскости

1.

2.

3. Угол между прямой и плоскостью

4.

Аналитическая геометрия на плоскости.

Прямоугольная декартова система координат на плоскости

Расстояние между 2 точками

.

Если заданы точки А и В и точка С делит отрезок АВ в отношении

, т.е. , то .

Уравнение прямой на плоскости

Ax+By+C=0;

Уравнение прямой в отрезках

.

Уравнение прямой, проходящей через 2 заданные точки

.

Уравнение прямой, проходящей через точку, под заданным углом

к оси Ох ( ):

Расстояние от точки до прямой

1.

2.

3.

Окружность

Уравнение окружности с центром в M(a;b) радиусом R