Нелинейное уравнение и интервал изоляции корня
Министерство образования РФ
Рязанская государственная радиотехническая академия
Кафедра ОиЭФ
Контрольная работа
«Нелинейное уравнение и интервал изоляции корня»
Выполнил ст. гр. 255
Ампилогов Н. В.
Проверил
Малютин А. Е.
Рязань 2007
Расчетная часть.
I.Заданное нелинейное уравнение и интервал изоляции корня:
.II.Схема алгоритма отделения корней
Разбиение исходного интервала
, на котором определена и непрерывна функция 
,на n отрезков равной длины: 
Вычисление значения функции
в точках 
концах отрезка
Выделение отрезка
Длина отрезка достаточно мала (можно предположить единственность корня) | | |
Корень отделен на интервале
Границы исходного отрезка сдвигаются
( 
)Воспользуемся приведенным выше алгоритмом для отделения корня уравнения на заданном отрезке:
1. Разобьем интервал изоляции корня
на n отрезков равной длины: 
2. Вычисляем значения функции в точках
: 
3. На концах отрезка (1;2) функция имеет разные знаки и он достаточно мал для определения корня.
III. Уточнение корня методом половинного деления
Отделение корней, нахождение отрезка изоляции
Вычисление f(a)
=(a+b)/2Вычисление f(
)a=
f(a)*f( )<0 b= 
Вывод
Произведем вычисления согласно представленному выше алгоритму. Необходимо определить корень методом половинного деления с погрешностью 
.Все условия для выполнения данного метода(указаны в теоретической части) выполняются.
Т.к.f(
) 
то выбираем другой отрезок [1;1,5] на концах которого функция имеет разные знаки и продолжаем вычисления. 
Выбираем отрезок [1;1,25] ,
является корнем т.к. нам необходимо найти корень с заданной погрешностью и выполняется условие прекращения вычислений: ;Мы нашли корень за 2 шага.
Проведем вычисления в системе MathCAD
В системе MathCAD мы нашли корень так же за 2 шага.
IV. Уточнение корня методом хорд.
Отделение корней, нахождение отрезка изоляции.
Вывод
Произведем вычисления согласно представленному выше алгоритму. Необходимо определить корень методом хорд с погрешностью
.Все условия для выполнения данного метода(указаны в теоретической части) выполняются.
Для того чтобы определить какой формулой метода хорд необходимо воспользоваться найдем значения первой и второй производной на концах отрезка изоляции корня:
Нашли корень за 1 шаг. Проведем вычисления в системе MathCAD.
В системе MathCAD мы нашли корень за 2 шага, это объясняется более высокой точностью MathCAD по сравнению с расчетами вручную.
V. Уточнение корня методом касательных.
Отделение корней, нахождение отрезка изоляции.
Вывод
Произведем вычисления согласно представленному выше алгоритму. Необходимо определить корень методом касательных с погрешностью
.Все условия для выполнения данного метода(указаны в теоретической части) выполняются.
Нашли корень за 2 шага. Проведем вычисления в системе MathCAD.
В системе MathCAD мы нашли корень так же за 2 шага.
VI. Уточнение корня методом простой итерации.
Отделение корней, нахождение отрезка изоляции
[c;d]=[a-h;b+h]
Приведение уравнения
f(x)=0 к виду x=g(x)
n=0
n=n+1Вывод
Произведем вычисления согласно представленному выше алгоритму. Необходимо определить корень методом простой итерации с погрешностью
.Все условия для выполнения данного метода(указаны в теоретической части) выполняются.
Значит, итерационный процесс не применим, расходится и не позволяет получить решение.
Вывод: Изучили различные методы уточнения корней нелинейных уравнений (метод половинного деления, хорд, касательных, простой итерации). На основе полученных нами результатов можно сделать вывод о том, что высокую скорость сходимости при решении уравнений дает метод хорд и метод касательных. Скорость сходимости методов половинного деления и простой итерации небольшие, но они наиболее легко реализуются на ЭВМ.