x4 + y4 = z4
Доведемо ще більш загальний випадок:
«Рівняння
x4 + y4 = z2 (2)
не має рішень в цілих відмінних від нуля числах».
Доказ: Припустимо, що існує вирішення рівняння (2) в цілих відмінних від нуля числах. Ясно, що, не втрачаючи спільності, ми можемо вважати, що воно складається з попарно взаємно простих позитивних чисел (якщо (x; у; z) є вирішенням рівняння (2), то, відразу ж видно, що (lx; lу; lz) також є його рішенням). Оскільки в будь-якій безлічі натуральних чисел існує найменше з них, то серед всіх таких рішень знайдеться рішення (x; у; z) з найменшим z. Розглянемо саме це рішення:
Так само, як і при доказі леми 2 негайно доводиться, що одне з чисел x і у повинно бути парним. Припустимо, що парне число x. Це припущення також спільності не обмежує.
Оскільки числа x2, y2 і z позитивні і взаємно прості, а число x2 парно, то, згідно лемі 2, існують такі взаємно прості числа m і n < m різної парності, що x2 = 2mn; y2 = m2 – n2; z2 = m2 + n2. Якщо m = 2k і n = 2f +1, то у = 4 (k2 – f2 – f – 1)+ 3, що неможливе, бо, як вище було вже відмічено, будь-який квадрат повинен мати вид 4k + 1, або 4k. Отже, m – непарно, а n – парно.
Хай n = 2q. Тоді x2 = 4mq і тому mq = (x/2)2. Оскільки НОД (m; q)= 1, а x парно, то, виходячи з леми 1, m = z12; q = t2, де z1 і t – деякі цілі взаємно прості позитивні числа. Зокрема, рівняння y2 = m2 – n2 те ж саме, що і y2 = (z12)2 – (2t2)2, тобто (2t2)2 + y2 = (z12)2.
Оскільки НОД (t; z1)= 1, то до цієї нерівності знову застосовна лема 2. Отже, існують такі позитивні взаємно прості числа а і b < а різній парності, що 2t2 = 2ab, тобто t2 = ab; y2 = a2 – b2; z12 = a2 + b2. Оскільки НОД (а; b)= 1, з рівності t2 = ab по лемі 1 витікає, що істоті цілі числа x1 і y1, для яких а = x12; b = y12. Тому z12 = a2 + b2 те ж, що і x14 + y14 = z12. Це означає, що числа x1, y1, z1 складають примітивне вирішення рівняння (2), що складається з позитивних чисел. Тому через вибір рішення (x; у; z), повинно мати місце нерівність z1 і z, а тому і нерівність z12 і z, т.е., враховуючи, що z = m2 + n2, m і m2 + n2, чого бути не може, оскільки m, n > 0.
Таким чином, припущення про існування у записаного вище рівняння (2) цілочисельних рішень приводить до суперечності. Отже, це рівняння не має рішень в цілих відмінних від нуля числах.
Примітки до доказів
Доказ леми 1 тут дане не те, яке було відоме ще з середньовіччя, а то, що придумав я сам, засноване більшою мірою на логічних виводах. Теорема Ферма для показника 4 (і леми, що все додаються для її доказу) – це єдина теорема, доведена тут, оскільки доказ її вважається елементарним, тобто заснованим на простих перетвореннях алгебри чисел, відомим ще індусам. Доказ же цей був тут необхідний, оскільки ще навіть у Ферма воно було, тільки в декілька іншій формі.
У Франції не так давно з'явилася книга, що є, ніби як, повним доведенням Великої теореми Ферма, але в ній використано стільки нових в математиці абстрактних понять, що перевірити ці праці, окрім автора, ніхто не може.
Список літератури
1. М.М. Постников «Теорема Ферма», М., 1978
2. Б.В. Болгарський «Нариси по історії математики», Мінськ, 1979
3. М.Я. Вигодський «Довідник по елементарній математиці», М., 1974.
Мережа Internet