Высшая математика для менеджеров (стр. 11 из 22)
`A ~
~ 
~ ~ 
~ 
.Наша система равносильна следующей:
x 11 + x 12 = 6000,
- x 12 + x 21 = 2000,
x 21 + x 22 = 4000,
-2,35 x 22 = - 4700,
откуда x 22 = 2000, x 21 = 2000, x 12 = 0, x 11 = 6000.
Пример 2.22.На предприятии имеется четыре технологических способа изготовления изделий А и Б из некоторого сырья. В таблице указано количество изделий, которое может быть произведено из единицы сырья каждым из технологических способов.
Записать в математической форме условия выбора технологий при производстве из 94 ед. сырья 574 изделий А и 328 изделий Б.
| Изделие | Выход из единицы сырья | |||
| I | II | III | IV | |
| А | 2 | 1 | 7 | 4 |
| Б | 6 | 12 | 2 | 3 |
Решение. Обозначим через x1, x2, x3, x4 количество сырья, которое следует переработать по каждой технологии, чтобы выполнить плановое задание. Получим систему трех линейных уравнений с четырьмя неизвестными:
x1 + x2 + x3 + x4 = 94,
2x1 + x2 + 7x3 + 4x4 = 574,
6x1 +12x2 +2x3 + 3x4 = 328.
Решаем ее методом Гаусса:
~ 
~ 
.Имеем: r (А) = r (А) = 3, следовательно, число главных неизвестных равно трем, одно неизвестное x4 - свободное. Исходная система равносильна следующей:
x1 + x2 + x3 = 94 - x4,
- x2 + 5x3 = 386 - 2x4,
26x3 = 2080- 9x4.
Из последнего уравнения находим x3 = 80 - 9/26 x4, подставляя x3 во второе уравнение, будем иметь: x2 = 14 + 7/26x4 и, наконец, из первого уравнения получим: x1 = - 12/13 x4. С математической точки зрения система имеет бесчисленное множество решений, т. е. неопределенна. С учетом реального экономического содержания величины x1 и x4 не могут быть отрицательными, тогда из соотношения x1 = - 12/13 x4 получим: x1 = x4 = 0. Тогда вектор (0, 14, 80, 0) является решением данной системы.
Пример 2.23. Математическая модель межотраслевого баланса.
Модель межотраслевого баланса, разработанная профессором В. Леонтьевым (Гарвардский университет, США), имеет вид:
, (5.12)или, в матричной форме,
AX + Y = X, (5.13)
где А = (a i j) - матрица коэффициентов прямых затрат, Х - вектор валовых выпусков, Y - вектор конечного продукта.
Перепишем систему (5.13) в виде
(E - A) X = Y, (5.14)
где E - единичная матрица n-го порядка, тогда решение системы (5.14) относительно неизвестных значений объемов производства продукции при заданном векторе конечного продукта находится по формуле
X = (E - A) -1 Y. (5.15)
Здесь (E - A) -1 - матрица коэффициентов полных затрат. Элемент b i j матрицы (E - A) -1 характеризует потребность в валовом выпуске отрасли i, который необходим для получения в процессе материального производства единицы конечного продукта отрасли j. Благодаря этому имеется возможность рассматривать валовые выпуски x i в виде функций планируемых значений y j конечных продуктов отраслей:
.
Пример 2.24. Пусть дана леонтьевская балансовая модель “затраты - выпуск” X = AX +Y. Найти вектор конечной продукции Y при заданном X, где
A = 
;
Решение. Имеем: Y = (E - A) X, где E - единичная матрица третьего порядка.
E - A =
,значит,
Y=
.Пример 2.25. Пусть дана леонтьевская балансовая модель “затраты-выпуск”. Определить, будет ли продуктивной матрица технологических коэффициентов A. Найти вектор валовой продукции X при заданном Y, где
A=
.Решение. Для решения вопроса о продуктивности матрицы A следует найти собственные значения этой матрицы. Составим характеристическое уравнение:
,или
(0,125 -l)2 - 0,140625 = 0 Þ 0,125 - l = ± 0,375.
Следовательно, l1 = 0,5; l2 = - 0,25. Оба корня по модулю меньше единицы, значит, матрица технологических коэффициентов A продуктивная. Для определения вектора валовой продукции X имеем формулу X = (E - A) -1 Y. Найдем обратную матрицу для матрицы
E - A=
.Обозначим B = E-A, тогда
.Следовательно,
X =
.III. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
6. Предел функции
6.1 Предел последовательности и функции. Теоремы о пределах
Постоянное число а называется пределом последовательности {xn}, если для любого сколь угодно малого положительного числа e существует номер N, что все значения xn, у которых n>N, удовлетворяют неравенству
êxn - a ê < e. (6.1)
Записывают это следующим образом:
или xn ® a.Неравенство (6.1) равносильно двойному неравенству
a- e < xn < a + e, (6.2)
которое означает, что точки x n, начиная с некоторого номера n>N, лежат внутри интервала (a-e, a+e), т.е. попадают в какую угодно малую e-окрестность точки а.
Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, в противном случае - расходящейся.
Понятие предела функции является обобщением понятия предела последовательности, так как предел последовательности можно рассматривать как предел функции xn = f(n) целочисленного аргумента n.
Пусть дана функция f(x) и пусть a - предельная точка области определения этой функции D(f), т.е. такая точка, любая окрестность которой содержит точки множества D(f), отличные от a. Точка a может принадлежать множеству D(f), а может и не принадлежать ему.
Определение 1. Постоянное число А называется пределом функции f(x) при x®a, если для всякой последовательности {xn} значений аргумента, стремящейся к а, соответствующие им последовательности {f(xn)} имеют один и тот же предел А.
Это определение называют определением предела функции по Гейне, или “на языке последовательностей”.
Определение 2. Постоянное число А называется пределом функции f(x) при x®a, если, задав произвольное как угодно малое положительное число e, можно найти такое d >0 (зависящее от e), что для всех x, лежащих в d-окрестности числа а, т.е. для x, удовлетворяющих неравенству 0 < ½x-a½ < d, значения функции f(x) будут лежать в e-окрестности числа А, т.е. êf(x)-A ê < e.
Это определение называют определением предела функции по Коши, или “на языке e - d“.
Определения 1 и 2 равносильны. Если функция f(x) при x ® a имеет предел, равный А, это записывается в виде
f(x) = A. (6.3)В том случае, если последовательность {f(xn)} неограниченно возрастает (или убывает) при любом способе приближения x к своему пределу а, то будем говорить, что функция f(x) имеет бесконечный предел, и записывать это в виде:
f(x) = ¥ ( 
f(x) = - ¥).Переменная величина (т.е. последовательность или функция), имеющая своим пределом нуль, называется бесконечно малой величиной.
Переменная величина, имеющая бесконечный предел, называется бесконечно большой величиной.
Для нахождения пределов на практике пользуются следующими теоремами.
Теорема 1. Если существуют пределы
f(x)=A, g(x)=B, то (f(x)+(g(x)) = A + B, (6.4) f(x) g(x) = AB, (6.5) f(x)/g(x) = A/B (B ¹ 0). (6.6)Замечание. Выражения вида 0/0, ¥ /¥, 0 × ¥, ¥ - ¥ являются неопределенными, например, отношение двух бесконечно малых или бесконечно больших величин, и нахождение пределов такого вида носит название “раскрытие неопределенностей”.