Высшая математика для менеджеров (стр. 13 из 22)
Пример 3.6. Доказать, что
sin x не существует.Решение. Пусть x1, x2,..., xn,... - последовательность, для которой
xn = ¥. Как ведет себя последовательность {f(xn)} = {sin xn } при различных xn ®¥ ?Если xn= pn, то sin xn= sin pn = 0 при всех n и
sin xn =0. Если же xn=2pn+p/2, то sin xn= sin(2pn+p/2) = sin p/2 = 1 для всех n и следовательно sin xn =1. Таким образом, sin x не существует.Пример 3.7. Найти
.Решение. Имеем:
= 5 
. Обозначим t = 5x. При x®0 имеем: t®0. Применяя формулу (3.10), получим 5 
.Пример 3.8. Вычислить
.Решение. Обозначим y=p-x. Тогда при x®p, y®0.Имеем:
sin 3x = sin 3(p-y) = sin (3p-3y) = sin 3y.
sin 4x = sin 4(p-y) = sin (4p-4y)= - sin 4y.
=- 
.Пример 3.9. Найти
.Решение. Обозначим arcsin x=t. Тогда x=sin t и при x®0 t®0.
= 
.Пример 3.10. Найти 1)
; 2) 
; 3) 
.Решение.
1. Применяя теорему 1 о пределе разности и произведения, находим предел знаменателя:
.Предел знаменателя не равен нулю, поэтому, по теореме 1 о пределе частного, получаем:
= 
.2. Здесь числитель и знаменатель стремятся к нулю, т.е. имеет место неопределенность вида 0/0. Теорема о пределе частного непосредственно неприменима. Для “раскрытия неопределенности” преобразуем данную функцию. Разделив числитель и знаменатель на x-2, получим при x ¹ 2 равенство:
= 
.Так как
(x+1) ¹ 0, то, по теореме о пределе частного, найдем = 
= 
.3. Числитель и знаменатель при x®¥ являются бесконечно большими функциями. Поэтому теорема о пределе частного непосредственно не применима. Разделим числитель и знаменатель на x2 и к полученной функции применим теорему о пределе частного:
= 
.Пример 3.11. Найти
.Решение. Здесь числитель и знаменатель стремятся к нулю:
, x-9®0, т.е. имеем неопределенность вида 
.Преобразуем данную функцию, умножив числитель и знаменатель на неполный квадрат суммы выражения
, получим 
.Пример 3.12. Найти
.Решение.
= 
.6.2 Применение пределов в экономических расчетах
Сложные проценты
В практических расчетах в основном применяют дискретные проценты, т.е. проценты, начисляемые за фиксированные одинаковые интервалы времени (год, полугодие, квартал и т. д.). Время - дискретная переменная. В некоторых случаях - в доказательствах и расчетах, связанных с непрерывными процессами, возникает необходимость в применении непрерывных процентов. Рассмотрим формулу сложных процентов:
S = P(1 + i)n. (6.16)
Здесь P - первоначальная сумма, i - ставка процентов (в виде десятичной дроби), S - сумма, образовавшаяся к концу срока ссуды в конце n-го года. Рост по сложным процентам представляет собой процесс, развивающийся по геометрической прогрессии. Присоединение начисленных процентов к сумме, которая служила базой для их определения, часто называют капитализацией процентов. В финансовой практике часто сталкиваются с задачей, обратной определению наращенной суммы: по заданной сумме S, которую следует уплатить через некоторое время n, необходимо определить сумму полученной ссуды P. В этом случае говорят, что сумма S дисконтируется, а проценты в виде разности S - P называются дисконтом. Величину P, найденную дисконтированием S, называют современной, или приведенной, величиной S. Имеем:
P =
Þ 
P = = 0.Таким образом, при очень больших сроках платежа современная величина последнего будет крайне незначительна.
В практических финансово-кредитных операциях непрерывные процессы наращения денежных сумм, т. е. наращения за бесконечно малые промежутки времени, применяются редко. Существенно большее значение непрерывное наращение имеет в количественном финансово-экономическом анализе сложных производственных и хозяйственных объектов и явлений, например, при выборе и обосновании инвестиционных решений. Необходимость в применении непрерывных наращений (или непрерывных процентов) определяется прежде всего тем, что многие экономические явления по своей природе непрерывны, поэтому аналитическое описание в виде непрерывных процессов более адекватно, чем на основе дискретных. Обобщим формулу сложных процентов для случая, когда проценты начисляются m раз в году: