Высшая математика для менеджеров (стр. 2 из 22)

Пример 1.1. Зная векторы a и b, на которых построен параллелограмм, выразить через них вектор, совпадающий с высотой параллелограмма, перпендикулярной к стороне a.

Решение. Обозначим AB=a, AC=b, CD=h, где CD^a, D-основание перпендикуляра, опущенного из точки C на сторону a. По правилу сложения векторов имеем: b + h = AD, h = AD - b. Поскольку AD çça, то AD = l a.

Найдем значение l, используя ортогональность векторов a и h: ah=0 или a(l a-b)=0, откуда l = ab /a². Следовательно, h = (ab /a²) a - b.

А B

b h a

C D

Рис. 1

Пример 1.2. Найдите угол между векторами a = 2m+4n и b = m-n, где m и n - единичные векторы и угол между m и n равен 120^о.

Решение. Имеем: cos j = ab/ab, ab = (2m+4n) (m-n) = 2 m² - 4n² +2mn = = 2 - 4+2cos120^o = - 2 + 2(-0.5) = -3; a =

; a² = (2m+4n) (2m+4n) = = 4 m² +16mn+16 n² = 4+16(-0.5)+16=12, значит a = . b = ; b² = = (m-n)(m-n) = m² -2mn+ n²= 1-2(-0.5)+1 = 3, значит b = . Окончательно имеем: cos j = = -1/2, Þ j = 120^o.

Пример 1.3. Зная векторы AB(-3,-2,6) и BC(-2,4,4),вычислите длину высоты AD треугольника ABC.

Решение. Обозначая площадь треугольника ABC через S, получим: S = 1/2 BC AD. Тогда AD=2S/BC, BC=

= = 6, S = 1/2 çAB ´ACç. AC=AB+BC, значит, вектор AC имеет координаты AC(-5,2,10). AB´AC = = i (-20 -12) - j (30 -30) + k (- 6 - 10) = = -16(2`i +`k ). çAB´ACç = = 16 ; S = 8 , откуда AD = = .

Пример 1.4. Даны два вектора a(11,10,2) и b(4,0,3). Найдите единичный вектор c, ортогональный векторам a и b и направленный так, чтобы упорядоченная тройка векторов a, b, c была правой.

Решение. Обозначим координаты вектора c относительно данного правого ортонормированного базиса через x, y, z.

Поскольку c ^ a, c ^ b, то ca = 0, cb = 0. По условию задачи требуется, чтобы c = 1 и a b c >0.

Имеем систему уравнений для нахождения x,y,z: 11x +10y + 2z = 0, 4x+3z=0, x² + y² + z² = 0.

Из первого и второго уравнений системы получим z = -4/3 x, y = -5/6 x. Подставляя y и z в третье уравнение, будем иметь: x² = 36/125, откуда x = ±

. Используя условие a b c >0, получим неравенство

> 0 или 5(6x-5y-8z) > 0.

С учетом выражений для z и y перепишем полученное неравенство в виде: 625/6 x > 0, откуда следует, что x>0. Итак, x =

, y = - , z =- .

2. Линии на плоскости

При чтении экономической литературы приходится иметь дело с большим количеством графиков. Укажем некоторые из них.

Кривая безразличия - кривая, показывающая различные комбинации двух продуктов, имеющих одинаковое потребительское значение, или полезность, для потребителя.

Кривая потребительского бюджета - кривая, показывающая различные комбинации количеств двух товаров, которые потребитель может купить при данном уровне его денежного дохода.

Кривая производственных возможностей - кривая, показывающая различные комбинации двух товаров или услуг, которые могут быть произведены в условиях полной занятости и полного объема производства в экономике с постоянными запасами ресурсов и неизменной технологией.

Кривая инвестиционного спроса - кривая, показывающая динамику процентной ставки и объем инвестиций при разных процентных ставках.

Кривая Филлипса - кривая, показывающая существование устойчивой связи между уровнем безработицы и уровнем инфляции.

Кривая Лаффера - кривая, показывающая связь между ставками налогов и налоговыми поступлениями, выявляющая такую налоговую ставку, при которой налоговые поступления достигают максимума.

Уже простое перечисление терминов показывает, как важно для экономистов умение строить графики и разбираться в свойствах простейших кривых, каковыми являются прямые линии и кривые второго порядка - окружность, эллипс, гипербола, парабола. Кроме того, при решении большого класса задач требуется выделить на плоскости область, ограниченную какими-либо кривыми. Чаще всего эти задачи формулируются так: найти наилучший план производства при заданных ресурсах. Задание ресурсов имеет обычно вид неравенств. Поэтому приходится искать наибольшее или наименьшее значения, принимаемые некоторой функцией в области, заданной системой неравенств.

В аналитической геометрии линия на плоскости определяется как множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению F(x,y)=0. При этом на функцию F должны быть наложены ограничения так, чтобы, с одной стороны, это уравнение имело бесконечное множество решений и, с другой стороны, чтобы это множество решений не заполняло “куска плоскости”. Важный класс линий составляют те, для которых функция F(x,y) есть многочлен от двух переменных, в этом случае линия, определяемая уравнением F(x,y)=0, называется алгебраической. Алгебраические линии, задаваемые уравнением первой степени, cуть прямые. Уравнение второй степени, имеющее бесконечное множество решений, определяет эллипс, гиперболу, параболу или линию, распадающуюся на две прямые.

Пусть на плоскости задана прямоугольная декартова система координат. Прямая на плоскости может быть задана одним из уравнений:

1⁰. Общее уравнение прямой:

Ax + By + C = 0. (2.1)

Вектор n(А,В) ортогонален прямой, числа A и B одновременно не равны нулю.

2⁰. Уравнение прямой с угловым коэффициентом:

y - y_o = k (x - x_o), (2.2)

где k - угловой коэффициент прямой, то есть k = tg a, где a - величина угла, образованного прямой с осью Оx, M (x_o, y_o ) - некоторая точка, принадлежащая прямой.

Уравнение (2.2) принимает вид y = kx + b, если M (0, b) есть точка пересечения прямой с осью Оy.

3⁰. Уравнение прямой в отрезках:

x/a + y/b = 1, (2.3)

где a и b - величины отрезков, отсекаемых прямой на осях координат.

4⁰. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки - A(x₁, y₁) и B(x₂, y₂ ):

. (2.4)

5⁰. Уравнение прямой, проходящей через данную точку A(x₁, y₁) параллельно данному вектору a(m, n):

. (2.5)

6⁰. Нормальное уравнение прямой:

rn^о - р = 0, (2.6)

где r - радиус-вектор произвольной точки M(x, y) этой прямой, n^о - единичный вектор, ортогональный этой прямой и направленный от начала координат к прямой; р - расстояние от начала координат до прямой.

Нормальное уравнение прямой в координатной форме имеет вид:

x cos a + y sin a - р = 0,

где a - величина угла, образованного прямой с осью Оx.

Уравнение пучка прямых с центром в точке А(x₁, y₁) имеет вид:

y-y₁ = l(x-x₁ ),

где l - параметр пучка. Если пучок задается двумя пересекающимися прямыми A₁ x + B₁ y + C₁= 0, A₂ x + B₂ y + C₂ = 0, то его уравнение имеет вид:

l (A₁ x + B₁ y + C₁) + m (A₂ x + B₂ y + C₂ )=0,

где l и m - параметры пучка, не обращающиеся в 0 одновременно.

Величина угла между прямыми y = kx + b и y = k₁ x + b₁ задается формулой:

tg j =

.

Равенство 1 + k₁ k = 0 есть необходимое и достаточное условие перпендикулярности прямых.

Для того, чтобы два уравнения

A₁ x + B₁ y + C₁= 0, (2.7)

A₂ x + B₂ y + C₂ = 0, (2.8)

задавали одну и ту же прямую, необходимо и достаточно, чтобы их коэффициенты были пропорциональны:

A₁/A₂ = B₁/B₂ = C₁/C_2.

Уравнения (2.7), (2.8) задают две различные параллельные прямые, если A₁/A₂ = B₁/B₂ и B₁/B₂ ¹ C₁/C_2; прямые пересекаются, если A₁/A₂ ¹ B₁/B₂.

Расстояние d от точки M_о(x_о, y_о) до прямой есть длина перпендикуляра, проведенного из точки M_о к прямой. Если прямая задана нормальным уравнением, то d = êr_оn^о - р ê, где r_о - радиус-вектор точки M_о или, в координатной форме, d = êx_о cosa + y_о sina - р ê.