Высшая математика для менеджеров (стр. 3 из 22)

Общее уравнение кривой второго порядка имеет вид:

a₁₁x² + 2a₁₂xy + a₂₂y² + 2a₁x +2a₂y +a = 0.

Предполагается, что среди коэффициентов a₁₁, a₁₂, a₂₂ есть отличные от нуля.

Уравнение окружности с центром в точке С(a, b) и радиусом, равным R:

(x - a)² + (y - b)² = R². (2.9)

Эллипсом называется геометрическое место точек, сумма расстояний которых от двух данных точек F₁ и F₂ (фокусов) есть величина постоянная, равная 2a.

Каноническое (простейшее) уравнение эллипса:

x²/a² + y²/a² = 1. (2.10)

Эллипс, заданный уравнением (2.10), симметричен относительно осей координат. Параметры a и b называются полуосями эллипса.

Пусть a>b, тогда фокусы F₁ и F₂ находятся на оси Оx на расстоянии c=

от начала координат. Отношение c/a = e < 1 называется эксцентриситетом эллипса. Расстояния от точки M(x, y) эллипса до его фокусов (фокальные радиусы-векторы) определяются формулами:

r₁ = a - ex, r₂ = a +ex.

Если же a < b, то фокусы находятся на оси Оy, c=

, e = c/b, r₁ = b + ex, r₂ = b - ex.

Если a = b, то эллипс является окружностью с центром в начале координат радиуса a.

Гиперболой называется геометрическое место точек, разность расстояний которых от двух данных точек F₁ и F₂ (фокусов) равна по абсолютной величине данному числу 2a.

Каноническое уравнение гиперболы:

x²/a² - y²/b² = 1. (2.11)

Гипербола, заданная уравнением (2.11), симметрична относительно осей координат. Она пересекает ось Оx в точках A (a,0) и A (-a,0) - вершинах гиперболы и не пересекает ось Оy. Параметр a называется вещественной полуосью, b - мнимой полуосью. Параметр c=

есть расстояние от фокуса до начала координат. Отношение c/a = e >1 называется эксцентриситетом гиперболы. Прямые y = ± b/a x называются асимптотами гиперболы. Расстояния от точки M(x,y) гиперболы до ее фокусов (фокальные радиусы-векторы) определяются формулами:

r₁ = êex - a ê, r₂ = êex + a ê.

Гипербола, у которой a = b, называется равносторонней, ее уравнение x² - y² = a ², а уравнение асимптот y = ± x. Гиперболы x²/a² - y²/b² = 1 и y²/b² - x²/a² = 1 называются сопряженными.

Параболой называется геометрическое место точек, одинаково удаленных от данной точки (фокуса) и данной прямой (директрисы).

Каноническое уравнение параболы имеет два вида:

1) y² = 2рx - парабола симметрична относительно оси Оx.

2) x² = 2рy - парабола симметрична относительно оси Оy.

В обоих случаях р>0 и вершина параболы, то есть точка, лежащая на оси симметрии, находится в начале координат.

Парабола y ² = 2рx имеет фокус F( р/2,0) и директрису x = - р/2, фокальный радиус-вектор точки M(x,y) на ней r = x+ р/2.

Парабола x² =2рy имеет фокус F(0, р/2) и директрису y = - р/2; фокальный радиус-вектор точки M(x,y) параболы равен r = y + р/2.

Уравнение F(x, y) = 0 задает линию, разбивающую плоскость на две или несколько частей. В одних из этих частей выполняется неравенство F(x, y)<0, а в других - неравенство F(x, y)>0. Иными словами, линия F(x, y)=0 отделяет часть плоскости, где F(x, y)>0, от части плоскости, где F(x, y)<0.

Прямая Ax+By+C = 0 разбивает плоскость на две полуплоскости. На практике для выяснения того, в какой полуплоскости мы имеем Ax+By+C<0, а в какой Ax+By+C>0, применяют метод контрольных точек. Для этого берут контрольную точку (разумеется, не лежащую на прямой Ax+By+C = 0) и проверяют, какой знак имеет в этой точке выражение Ax+By+C. Тот же знак имеет указанное выражение и во всей полуплоскости, где лежит контрольная точка. Во второй полуплоскости Ax+By+C имеет противоположный знак.

Точно так же решаются и нелинейные неравенства с двумя неизвестными.

Например, решим неравенство x²-4x+y²+6y-12 > 0. Его можно переписать в виде (x-2)² + (y+3)² - 25 > 0.

Уравнение (x-2)² + (y+3)² - 25 = 0 задает окружность с центром в точке C(2,-3) и радиусом 5. Окружность разбивает плоскость на две части - внутреннюю и внешнюю. Чтобы узнать, в какой из них имеет место данное неравенство, возьмем контрольную точку во внутренней области, например, центр C(2,-3) нашей окружности. Подставляя координаты точки C в левую часть неравенства, получаем отрицательное число -25. Значит, и во всех точках, лежащих внутри окружности, выполняется неравенство x²-4x+y²+6y-12 < 0. Отсюда следует, что данное неравенство имеет место во внешней для окружности области.

Пример 1.5. Составьте уравнения прямых, проходящих через точку A(3,1) и наклоненных к прямой 2x+3y-1 = 0 под углом 45^o.

Решение. Будем искать уравнение прямой в виде y=kx+b. Поскольку прямая проходит через точку A, то ее координаты удовлетворяют уравнению прямой, т.е. 1=3k+b, Þ b=1-3k. Величина угла между прямыми y= k₁ x+b₁ и y= kx+b определяется формулой tgj =

. Так как угловой коэффициент k₁ исходной прямой 2x+3y-1=0 равен - 2/3, а угол j = 45^o, то имеем уравнение для определения k:

(2/3 + k)/(1 - 2/3k) = 1 или (2/3 + k)/(1 - 2/3k) = -1.

Имеем два значения k: k₁ = 1/5, k₂ = -5. Находя соответствующие значения b по формуле b=1-3k, получим две искомые прямые: x - 5y + 2 = 0 и 5x + y - 16 = 0.

Пример 1.6. При каком значении параметра t прямые, заданные уравнениями 3tx-8y+1 = 0 и (1+t)x-2ty = 0, параллельны ?

Решение. Прямые, заданные общими уравнениями, параллельны, если коэффициенты при x и y пропорциональны, т.е. 3t/(1+t) = -8/(-2t). Решая полученное уравнение, находим t: t₁ = 2, t₂ = -2/3.

Пример 1.7. Найти уравнение общей хорды двух окружностей: x² +y² =10 и x²+y²-10x-10y+30=0.

Решение. Найдем точки пересечения окружностей, для этого решим систему уравнений:

Решая первое уравнение, находим значения x₁ = 3, x₂ = 1. Из второго уравнения - соответствующие значения y: y₁ = 1, y₂ = 3. Теперь получим уравнение общей хорды, зная две точки А(3,1) и B(1,3), принадлежащие этой прямой: (y-1)/(3-1) = (x-3)/(1-3), или y+ x - 4 = 0.

Пример 1.8. Как расположены на плоскости точки, координаты которых удовлетворяют условиям (x-3) ² + (y-3) ² < 8, x > y?

Решение. Первое неравенство системы определяет внутренность круга, не включая границу, т.е. окружность с центром в точке (3,3) и радиуса

. Второе неравенство задает полуплоскость, определяемую прямой x = y, причем, так как неравенство строгое, точки самой прямой не принадлежат полуплоскости, а все точки ниже этой прямой принадлежат полуплоскости. Поскольку мы ищем точки, удовлетворяющие обоим неравенствам, то искомая область - внутренность полукруга.

Пример 1.9. Вычислить длину стороны квадрата, вписанного в эллипс x²/a² + y²/b² = 1.

Решение. Пусть М(с, с) - вершина квадрата, лежащая в первой четверти. Тогда сторона квадрата будет равна 2с. Т.к. точка М принадлежит эллипсу, ее координаты удовлетворяют уравнению эллипса c²/a² + c²/b² = 1, откуда c = ab/

; значит, сторона квадрата - 2ab/ .

Пример 1.10. Зная уравнение асимптот гиперболы y = ± 0,5 x и одну из ее точек М(12, 3

), составить уравнение гиперболы.

Решение. Запишем каноническое уравнение гиперболы: x²/a² - y²/b² = 1. Асимптоты гиперболы задаются уравнениями y = ± 0,5 x, значит, b/a = 1/2, откуда a=2b. Поскольку М - точка гиперболы, то ее координаты удовлетворяют уравнению гиперболы, т.е. 144/a² - 27/b² = 1. Учитывая, что a = 2b, найдем b: b²=9 Þ b=3 и a=6. Тогда уравнение гиперболы - x²/36 - y²/9 = 1.

Пример 1.11. Вычислить длину стороны правильного треугольника ABC, вписанного в параболу с параметром р, предполагая, что точка А совпадает с вершиной параболы.

Решение. Каноническое уравнение параболы с параметром р имеет вид y² = 2рx, вершина ее совпадает с началом координат, и парабола симметрична относительно оси абсцисс. Так как прямая AB образует с осью Ox угол в 30^o, то уравнение прямой имеет вид: y =

x.

Следовательно, мы можем найти координаты точки B, решая систему уравнений y²=2рx, y =

x, откуда x = 6р, y = 2 р. Значит, расстояние между точками A(0,0) и B(6р,2 р) равно 4 р.

Пример 1.12. Со станции ежедневно можно отправлять пассажирские и скорые поезда. Данные приведены в таблице.

Тип поезда	Количество вагонов в составе
плацкартных	купейных	мягких
Пассажирский	5	6	3
Скорый	8	4	1
Резерв вагонов	80	72	21

Записать в математической форме условия, не позволяющие превысить наличный парк вагонов при формировании пассажирских и скорых поездов, ежедневно отправляемых со станции. Построить на плоскости Oxy область допустимых вариантов формирования поездов.