Высшая математика для менеджеров (стр. 6 из 22)
Пусть дана матрица (4.1). Переставим строки со столбцами. Получим матрицу
AT =
,которая будет транспонированной по отношению к матрице А. В частности, при транспонировании вектора-столбца получается вектор-строка и наоборот.
Произведением матрицы А на число l называется матрица, элементы которой получаются из соответствующих элементов матрицы А умножением на число l: l A = (l ai j).
Суммой двух матриц А = (ai j) и B = (bi j) одного размера называется матрица C = (ci j) того же размера, элементы которой определяются по формуле ci j = ai j + bi j.
Произведение АВ матрицы А на матрицу В определяется в предположении, что число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В.
Произведением двух матриц А = (ai j) и B = (bj k), где i =
, j= 
, k= 
, заданных в определенном порядке АВ, называется матрица С = (c i k), элементы которой определяются по следующему правилу:c i k = ai 1 b1 k + ai 2 b2 k +... + ai m bm k =
ai s bs k. (4.2)Иначе говоря, элементы матрицы-произведения определяются следующим образом: элемент i-й строки и k-го столбца матрицы С равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы А на соответствующие элементы k-го столбца матрицы В.
Пример 2.1. Найти произведение матриц А=
и В = 
.Решение. Имеем: матрица А размера 2´3, матрица В размера 3´3, тогда произведение АВ = С существует и элементы матрицы С равны с11 = 1×1 +2×2 + 1×3 = 8, с21 = 3×1 + 1×2 + 0×3 = 5, с12 = 1×2 + 2×0 + 1×5 = 7,
с22 =3×2 + 1×0 + 0×5 = 6, с13 = 1×3 + 2×1 + 1×4 = 9, с23 = 3×3 + 1×1 + 0×4 = 10.
AB =
, а произведение BA не существует.Пример 2.2. В таблице указано количество единиц продукции, отгружаемой ежедневно на молокозаводах 1 и 2 в магазины М1, М2 и М3, причем доставка единицы продукции с каждого молокозавода в магазин М1 стоит 50 ден. ед., в магазин М2 - 70, а в М3 - 130 ден. ед. Подсчитать ежедневные транспортные расходы каждого завода.
| Молокозавод | Магазин | ||
| М1 | М2 | М3 | |
| 1 | 20 | 35 | 10 |
| 2 | 15 | 27 | 8 |
Решение. Обозначим через А матрицу, данную нам в условии, а через В - матрицу, характеризующую стоимость доставки единицы продукции в магазины, т.е.,
А =
, В = (50, 70, 130).Тогда матрица затрат на перевозки будет иметь вид:
АВT =
.Итак, первый завод ежедневно тратит на перевозки 4750 ден. ед., второй - 3680 ден.ед.
Пример 2.3. Швейное предприятие производит зимние пальто, демисезонные пальто и плащи. Плановый выпуск за декаду характеризуется вектором X = (10, 15, 23). Используются ткани четырех типов Т1, Т2, Т3, Т4. В таблице приведены нормы расхода ткани (в метрах) на каждое изделие. Вектор С = (40, 35, 24, 16) задает стоимость метра ткани каждого типа, а вектор P = (5, 3, 2, 2) - стоимость перевозки метра ткани каждого вида.
| Изделие | Расход ткани | |||
| Т1 | Т2 | Т3 | Т4 | |
| Зимнее пальто | 5 | 1 | 0 | 3 |
| Демисезонное пальто | 3 | 2 | 0 | 2 |
| Плащ | 0 | 0 | 4 | 3 |
1. Сколько метров ткани каждого типа потребуется для выполнения плана ?
2. Найти стоимость ткани, расходуемой на пошив изделия каждого вида.
3. Определить стоимость всей ткани, необходимой для выполнения плана.
4. Подсчитать стоимость всей ткани с учетом ее транспортировки.
Решение. Обозначим через А матрицу, данную нам в условии, т. е.,
A =
,тогда для нахождения количества метров ткани, необходимой для выполнения плана, нужно вектор X умножить на матрицу А:
X А = (10,15, 23)
= 
= = (95, 40, 92, 129).Стоимость ткани, расходуемой на пошив изделия каждого вида, найдем, перемножив матрицу А и вектор CT:
А CT =
= 
.Стоимость всей ткани, необходимой для выполнения плана, определится по формуле:
X А C T = (10,15,23)
= 
.Наконец, с учетом транспортных расходов вся сумма будет равна стоимости ткани, т. е. 9472 ден. ед., плюс величина
X А P T = (95, 40, 92, 129)
.Итак, X А C T + X А P T = 9472 + 1037 = 10509 (ден. ед).
4.2 Определители
Перестановкой чисел 1, 2,..., n называется любое расположение этих чисел в определенном порядке. В элементарной алгебре доказывается, что число всех перестановок, которые можно образовать из n чисел, равно 12...n = n!. Например, из трех чисел 1, 2, 3 можно образовать 3!=6 перестановок: 123, 132, 312, 321, 231, 213. Говорят, что в данной перестановке числа i и j составляют инверсию (беспорядок), если i>j, но i стоит в этой перестановке раньше j, то есть если большее число стоит левее меньшего.
Перестановка называется четной (или нечетной), если в ней соответственно четно (нечетно) общее число инверсий. Операция, посредством которой от одной перестановки переходят к другой, составленной из тех же n чисел, называется подстановкой n-ой степени.
Подстановка, переводящая одну перестановку в другую, записывается двумя строками в общих скобках, причем числа, занимающие одинаковые места в рассматриваемых перестановках, называются соответствующими и пишутся одно под другим. Например, символ
обозначает подстановку, в которой 3 переходит в 4, 1 ® 2, 2 ® 1, 4 ® 3. Подстановка называется четной (или нечетной), если общее число инверсий в обеих строках подстановки четно (нечетно). Всякая подстановка n-ой степени может быть записана в виде 
,т.е. с натуральным расположением чисел в верхней строке.Пусть нам дана квадратная матрица порядка n
. (4.3)Рассмотрим все возможные произведения по n элементов этой матрицы, взятых по одному и только по одному из каждой строки и каждого столбца, т.е. произведений вида:
, (4.4)где индексы q1, q2,..., qn составляют некоторую перестановку из чисел 1, 2,..., n. Число таких произведений равно числу различных перестановок из n символов, т.е. равно n!. Знак произведения (4.4) равен (- 1)q, где q - число инверсий в перестановке вторых индексов элементов.
Определителем n -го порядка, соответствующим матрице (4.3), называется алгебраическая сумма n! членов вида (4.4). Для записи определителя употребляется символ êA ê=
или det A= 
(детерминант, или определитель, матрицы А).Свойства определителей
1. Определитель не меняется при транспонировании.
2. Если одна из строк определителя состоит из нулей, то определитель равен нулю.
3. Если в определителе переставить две строки, определитель поменяет знак.
4. Определитель, содержащий две одинаковые строки, равен нулю.
5. Если все элементы некоторой строки определителя умножить на некоторое число k, то сам определитель умножится на k.
6. Определитель, содержащий две пропорциональные строки, равен нулю.