Высшая математика для менеджеров (стр. 9 из 22)
D = det (ai j)
и n вспомогательных определителей D i (i=
), которые получаются из определителя D заменой i-го столбца столбцом свободных членов.Формулы Крамера имеют вид:
D × x i = D i (i =
). (5.4)Из (5.4) следует правило Крамера, которое дает исчерпывающий ответ на вопрос о совместности системы (5.3): если главный определитель системы отличен от нуля, то система имеет единственное решение, определяемое по формулам:
x i = D i / D.
Если главный определитель системы D и все вспомогательные определители D i = 0 (i=
), то система имеет бесчисленное множество решений. Если главный определитель системы D = 0, а хотя бы один вспомогательный определитель отличен от нуля, то система несовместна.Пример 2.14. Решить методом Крамера систему уравнений:
x1 + x2 + x3 + x4 = 5,
x1 + 2x2 - x3 + 4x4 = -2,
2x1 - 3x2 - x3 - 5x4 = -2,
3x1 + x2 +2x3 + 11 x4 = 0.
Решение. Главный определитель этой системы
D =
= -142 ¹ 0,значит, система имеет единственное решение. Вычислим вспомогательные определители D i (i=
), получающиеся из определителя D путем замены в нем столбца, состоящего из коэффициентов при xi, столбцом из свободных членов:D 1 =
= - 142, D 2 = 
= - 284,D 3 =
= - 426, D 4 = 
= 142.Отсюда x1 = D 1/D = 1, x2 = D 2/D = 2, x3 = D 3/D = 3, x4 = D 4/D = -1, решение системы - вектор С=(1, 2, 3, -1)T.
5.4 Матричный метод
Если матрица А системы линейных уравнений невырожденная, т.е. det A ¹ 0, то матрица А имеет обратную, и решение системы (5.3) совпадает с вектором C = A-1B. Иначе говоря, данная система имеет единственное решение. Отыскание решения системы по формуле X=C, C=A-1B называют матричным способом решения системы, или решением по методу обратной матрицы.
Пример 2.15. Решить матричным способом систему уравнений
x1 - x2 + x3 = 6,
2x1 + x2 + x3 = 3,
x1 + x2 +2x3 = 5.
Решение. Обозначим
A =
, X = (x1, x2, x3)T, B = (6, 3, 5) T.Тогда данная система уравнений запишется матричным уравнением AX=B. Поскольку D = det
=5 ¹ 0, то матрица A невырождена и поэтому имеет обратную:А-1 = 1/D
.Для получения решения X мы должны умножить вектор-столбец B слева на матрицу A: X = A-1B. В данном случае
A-1 =
и, следовательно,
= 
.Выполняя действия над матрицами, получим:
x1 = 1/5(1×6+3×3-2×5) = 1/5 (6+9-10) = 1,
x2 = 1/5 (-3×6 +1×3 - 1×5) = 1/5 (- 18 + 3 + 5) = -2,
x3 = 1/5 (1×6 - 2×3 + 3×5) = 1/5 (6 -6 + 15) = 3.
Итак, С = (1, -2, 3)T.
5.5 Системы линейных уравнений общего вида
Если система (5.1) оказалась совместной, т. е. матрицы A и `A имеют один и тот же ранг, то могут представиться две возможности - a) r = n; б) r < n:
а) если r = n, то имеем n независимых уравнений с n неизвестными, причем определитель D этой системы отличен от нуля. Такая система имеет единственное решение, получаемое по формулам Крамера;
б) если r < n, то число независимых уравнений меньше числа неизвестных.
Перенесем лишние неизвестные x r+1, x r+2,..., xn, которые принято называть свободными, в правые части; наша система линейных уравнений примет вид:
a11 x1 + a12 x2 +... + a1r xr = b1 - a1,r+1 xr+1 -... - a1nxn,
a21 x1 + a22 x2 +... + a2r xr = b2 - a2,r+1 xr+1 -... - a2nxn,
... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
ar1 x1 + ar2 x2 +... + arr xr = br - ar,r+1 xr+1 -... - arnxn.
Ее можно решить относительно x1, x2,..., xr, так как определитель этой системы (r-го порядка) отличен от нуля. Придавая свободным неизвестным произвольные числовые значения, получим по формулам Крамера соответствующие числовые значения для x1, x2,..., xr. Таким образом, при r < n имеем бесчисленное множество решений.
Система (5.1) называется однородной, если все bi = 0, т. е. она имеет вид:
a 11 x1 + a12 x2 +... + a1n xn = 0,
a21 x1 + a22 x2 +... + a2n xn = 0, (5.5)
... ... ... ... ... ...
am1 x1 + am1 x2 +... + amn xn = 0.
Из теоремы Кронекера-Капелли следует, что она всегда совместна, так как добавление столбца из нулей не может повысить ранга матрицы. Это, впрочем, видно и непосредственно - система (5.5) заведомо обладает нулевым, или тривиальным, решением x1 = x2 =... = xn = 0. Пусть матрица А системы (5.5) имеет ранг r.
Если r = n, то нулевое решение будет единственным решением системы (5.5); при r < n система обладает решениями, отличными от нулевого, и для их разыскания применяют тот же прием, как и в случае произвольной системы уравнений.
Всякий ненулевой вектор - столбец X = (x1, x2,..., xn)T называется собственным вектором линейного преобразования (квадратной матрицы A), если найдется такое число l, что будет выполняться равенство
AX = lX.
Число l называется собственным значением линейного преобразования (матрицы A), соответствующим вектору X. Матрица A имеет порядок n.
В математической экономике большую роль играют так называемые продуктивные матрицы. Доказано, что матрица A является продуктивной тогда и только тогда, когда все собственные значения матрицы A по модулю меньше единицы.
Для нахождения собственных значений матрицы A перепишем равенство AX = lX в виде (A - lE)X = 0, где E- единичная матрица n-го порядка или в координатной форме:
(a11 -l)x1 + a12x2 +... + a1nxn =0,
a21x1 + (a22 -l)x2 +... + a2nxn = 0,
... ... ... ... ... ... ... ... (5.6)
an1x1 + an2x2 +... + (ann-l)xn = 0.
Получили систему линейных однородных уравнений, которая имеет ненулевые решения тогда и только тогда, когда определитель этой системы равен нулю, т.е.
= 
.Получили уравнение n-ой степени относительно неизвестной l, которое называется характеристическим уравнением матрицы A, многочлен
называется характеристическим многочленом матрицы A, а его корни - характеристическими числами, или собственными значениями, матрицы A.Для нахождения собственных векторов матрицы A в векторное уравнение (A - lE)X = 0 или в соответствующую систему однородных уравнений (5.6) нужно подставить найденные значения l и решать обычным образом.
Пример 2.16. Исследовать систему уравнений и решить ее, если она совместна.
x1 + x2 - 2x3 - x4 + x5 =1,
3x1 - x2 + x3 + 4x4 + 3x5 =4,
x1 + 5x2 - 9x3 - 8x4 + x5 =0.
Решение. Будем находить ранги матриц A и `A методом элементарных преобразований, приводя одновременно систему к ступенчатому виду:
~ 
~ 
.Очевидно, что r(A) = r(`A) = 2. Исходная система равносильна следующей, приведенной к ступенчатому виду:
x1 + x2 - 2x3 - x4 + x5 = 1,
- 4x2 + 7x3 + 7x4 = 1.
Поскольку определитель при неизвестных x1 и x2 отличен от нуля, то их можно принять в качестве главных и переписать систему в виде:
x1 + x2 = 2x3 + x4 - x5 + 1,
- 4x2 = - 7x3 - 7x4 + 1,
откуда x2 = 7/4 x3 + 7/4 x4 -1/4, x1 = 1/4 x3 -3/4 x4 - x5 + 5/4 - общее решение системы, имеющей бесчисленное множество решений. Придавая свободным неизвестным x3, x4, x5 конкретные числовые значения, будем получать частные решения. Например, при x3 = x4 = x5 = 0 x1= 5/4, x2 = - 1/4. Вектор C(5/4, - 1/4, 0, 0, 0) является частным решением данной системы.
Пример 2.17. Исследовать систему уравнений и найти общее решение в зависимости от значения параметра а.
2x1 - x2 + x3 + x4 = 1,
x1 + 2x2 - x3 + 4x4 = 2,
x1 + 7x2 - 4x3 + 11x4 = a.