Вычисление определенного интеграла (стр. 2 из 2)

Выполнив интегрирование, получим формулу Симпсона:

Полученное для интеграла

значение совпадает с площадью криволинейной трапеции, ограниченной осью , прямыми , и параболой, проходящей через точки На отрезке формула Симпсона будет иметь вид:

В формуле параболы значение функции f(x) в нечетных точках разбиения х₁, х₃, ..., х_2n-1 имеет коэффициент 4, в четных точках х₂, х₄, ..., х_2n-2 - коэффициент 2 и в двух граничных точках х₀=а, х_n =b - коэффициент 1.

Геометрический смысл формулы Симпсона: площадь криволинейной трапеции под графиком функции f(x) на отрезке [a, b] приближенно заменяется суммой площадей фигур, лежащих под параболами.

Если функция f(x) имеет на [a, b] непрерывную производную четвертого порядка, то абсолютная величина погрешности формулы Симпсона не больше чем

где М - наибольшее значение

на отрезке [a, b]. Так как n⁴ растет быстрее, чем n², то погрешность формулы Симпсона с ростом n уменьшается значительно быстрее, чем погрешность формулы трапеций.

Пример

Вычислим интеграл

Этот интеграл легко вычисляется:

Возьмем n равным 10, h=0.1, рассчитаем значения подынтегральной функции

в точках разбиения , а также полуцелых точках .

По формуле средних прямоугольников получим I_прям=0.785606 (погрешность равна 0.027%), по формуле трапеций I_трап=0.784981 (погрешность около 0,054. При использовании метода правых и левых прямоугольников погрешность составляет более 3%.

Для сравнения точности приближенных формул вычислим еще раз интеграл

,

но теперь по формуле Симпсона при n=4. Разобьем отрезок [0, 1] на четыре равные части точками х₀=0, х₁=1/4, х₂=1/2, х₃=3/4, х₄=1 и вычислим приближенно значения функции f(x)=1/(1+x) в этих точках: у₀=1,0000, у₁=0,8000, у₂=0,6667, у₃=0,5714, у₄=0,5000.

По формуле Симпсона получаем

Оценим погрешность полученного результата. Для подынтегральной функции f(x)=1/(1+x) имеем: f⁽⁴⁾(x)=24/(1+x)⁵ , откуда следует, что на отрезке [0, 1]

. Следовательно, можно взять М=24, и погрешность результата не превосходит величины 24/(2880× 4⁴)=0.0004. Сравнивая приближенное значение с точным, заключаем, что абсолютная ошибка результата, полученного по формуле Симпсона, меньше 0,00011. Это находится в соответствии с данной выше оценкой погрешности и, кроме того, свидетельствует, что формула Симпсона значительно точнее формулы трапеций. Поэтому формулу Симпсона для приближенного вычисления определенных интегралов используют чаще, чем формулу трапеций.

Сравнение методов по точности

Сравним методы по точности, для этого произведем вычисления интеграла функций y=x, y=x+2, y=x², при n=10 и n=60, a=0, b=10. Точное значение интегралов составляет соответственно: 50, 70, 333.(3)

таблица 1

метод	n	x	x+2	x2
Метод средних прямоугольников	10	50	70	332.5
Метод правых прямоугольников	10	45	65	285
Метод трапеции	10	50	70	335
Формула Симпсона	10	50	70	333.333
Метод средних прямоугольников	60	50	70	333.310
Метод правых прямоугольников	60	49.1667	69.1667	325.046
Метод трапеции	60	50	70	333.379
Формула Симпсона	60	50	70	333.333

Из таблицы 1 видно, что наиболее точным является интеграл, найденный по формуле Симпсона, при вычислении линейных функций y=x, y=x+2 также достигается точность методами средних прямоугольников и методом трапеций, метод правых прямоугольников является менее точным. Из таблицы 1 видно, что при увеличении количества разбиений n (увеличения числа интеграций) повышается точность приближенного вычисления интегралов

Задание на лабораторную работу

1) Написать программы вычисления определенного интеграла методами: средних, правых прямоугольников, трапеции и методом Симпсона. Выполнить интегрирование следующих функций:

1. f(x)=x

f(x)=x²

f(x)= x³

f(x)= x⁴

на отрезке [0, 1] с шагом

, ,

2. f(x)=

f(x)=

f(x)=

3. Выполнить вариант индивидуального задания (таблица 2)

Таблица 2 Индивидуальные варианты задания

№	Функция f(x)	Отрезок интегрирования [a,b]
1		[1;3]
2		[1;3]
3		[0;2]
4		[2;4]
5		[1;3]
6		[0;2]
7		[0;2]
8		[1;3]
9		[0;2]
10		[0;2]
11		[1;3]
12		[1;3]
13		[0;2]
14		[2;4]
15		[1;3]
16		[0;2]
17		[0;2]
18		[1;3]
19		[0;2]
20		[0;2]
21		[1;3]
22		[1;3]
23		[0;2]
24		[2;4]
25		[1;3]
26		[0;2]
27		[0;2]
28		[1;3]
29		[0;2]
30		[0;2]

2) Провести сравнительный анализ методов.

Вычисление определенного интеграла: Методические указания к лабораторной работе по дисциплине «Вычислительная математика» / сост. И.А.Селиванова. Екатеринбург: ГОУ ВПО УГТУ-УПИ, 2006. 14 с.

Указания предназначены для студентов всех форм обучения специальности 230101 – «Вычислительные машины, комплексы, системы и сети» и бакалавров направления 230100 – «Информатика и вычислительная техника». Составитель Селиванова Ирина Анатольевна