Вычисление определенного интеграла (стр. 1 из 2)
Вычисление определенного интеграла
Екатеринбург
2006
Вычисление определенного интеграла
Введение
Задача численного интегрирования функций заключается в вычислении приближенного значения определенного интеграла:
, (1)на основе ряда значений подынтегральной функции .{ f(x) |x=xk = f(xk) = yk}.
Формулы численного вычисления однократного интеграла называются квадратурными формулами, двойного и более кратного – кубатурными.
Обычный прием построения квадратурных формул состоит в замене подынтегральной функции f(x) на отрезке [a,b] интерполирующей или аппроксимирующей функцией g(x) сравнительно простого вида, например, полиномом, с последующим аналитическим интегрированием. Это приводит к представлению
В пренебрежении остаточным членом R[f] получаем приближенную формулу
.Обозначим через yi = f(xi) значение подинтегральной функции в различных точках
на [a,b]. Квадратурные формулы являются формулами замкнутого типа, если x0=a , xn=b.В качестве приближенной функции g(x) рассмотрим интерполяционный полином на
в форме полинома Лагранжа: 
,где
, при этом 
, где 
- остаточный член интерполяционной формулы Лагранжа.Формула (1) дает
, (2)где
. (3)В формуле (2) величины {
} называются узлами, { 
} – весами, 
- погрешностью квадратурной формулы. Если веса { 
} квадратурной формулы вычислены по формуле (3), то соответствующую квадратурную формулу называют квадратурной формулой интерполяционного типа.Подведем итог.
1. Веса {
} квадратурной формулы (2) при заданном расположении узлов не зависят от вида подынтегральной функции.2. В квадратурных формулах интерполяционного типа остаточный член Rn[f] может быть представлен в виде значения конкретного дифференциального оператора на функции f(x). Для
.3. Для полиномов до порядка n включительно квадратурная формула (2) точна, т.е.
. Наивысшая степень полинома, для которого квадратурная формула точна, называется степенью квадратурной формулы.Рассмотрим частные случаи формул (2) и (3): метод прямоугольников, трапеций, парабол (метод Симпсона). Названия этих методов обусловлены геометрической интерпретацией соответствующих формул.
Метод прямоугольников
Определенный интеграл функции от функции f(x):
численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной кривыми у=0, x=a, x=b, y=f(x) (рисунок. 1).
Рис. 1 Площадь под кривой y=f(x) Для вычисления этой площади весь интервал интегрирования [a,b] разбивается на n равных подинтервалов длины h=(b-a)/n. Площадь под подынтегральной кривой приближенно заменяется на сумму площадей прямоугольников, как это показано на рисунке (2). 
Рис. 2 Площадь под кривой y=f(x) аппроксимируется суммой площадей прямоугольников Сумма площадей всех прямоугольников вычисляется по формуле
(4)Метод, представленный формулой (4), называется методом левых прямоугольников, а метод, представленный формулой(5) – методом правых прямоугольников:
(5)Погрешность вычисления интеграла определяется величиной шага интегрирования h. Чем меньше шаг интегрирования, тем точнее интегральная сумма S аппроксимирует значение интеграла I. Исходя из этого строится алгоритм для вычисления интеграла с заданной точностью. Считается, что интегральная сумма S представляет значение интеграла I c точностью eps, если разница по абсолютной величине между интегральными суммами 
и 
, вычисленными с шагом h и h/2 соответственно, не превышает eps. Для нахождения определенного интеграла методом средних прямоугольников площадь, ограниченная прямыми a и b, разбивается на n прямоугольников с одинаковыми основаниями h, высотами прямоугольников будут точки пересечения функции f(x) с серединами прямоугольников (h/2). Интеграл будет численно равен сумме площадей n прямоугольников (рисунок 3).
Рис. 3 Площадь под кривой y=f(x) аппроксимируется суммой площадей прямоугольников 
,n – количество разбиений отрезка [a,b].
Метод трапеций
Для нахождения определенного интеграла методом трапеций площадь криволинейной трапеции также разбивается на n прямоугольных трапеций с высотами h и основаниями у1, у2, у3,..уn, где n - номер прямоугольной трапеции. Интеграл будет численно равен сумме площадей прямоугольных трапеций (рисунок 4).
Рис. 4 Площадь под кривой y=f(x) аппроксимируется суммой площадей прямоугольных трапеций. 
n – количество разбиений
(6)Погрешность формулы трапеций оценивается числом
Погрешность формулы трапеций с ростом
уменьшается быстрее, чем погрешность формулы прямоугольников. Следовательно, формула трапеций позволяет получить большую точность, чем метод прямоугольников.Формула Симпсона
Если для каждой пары отрезков
построить многочлен второй степени, затем проинтегрировать его на отрезке 
и воспользоваться свойством аддитивности интеграла, то получим формулу Симпсона.В методе Симпсона для вычисления определенного интеграла весь интервал интегрирования [a,b] разбивается на подинтервалы равной длины h=(b-a)/n. Число отрезков разбиения является четным числом. Затем на каждой паре соседних подинтервалов подинтегральная функция f(x) заменяется многочленом Лагранжа второй степени (рисунок 5). 
Рис. 5 Функция y=f(x) на отрезке 
заменяется многочленом 2-го порядка 
Рассмотрим подынтегральную функцию 
на отрезке 
. Заменим эту подынтегральную функцию интерполяционным многочленом Лагранжа второй степени, совпадающим с y= в точках 
:
Проинтегрируем
на отрезке 
.: 
Введем замену переменных:
Учитывая формулы замены,
