Вычисление пределов функций, производных и интегралов (стр. 1 из 2)

Содержание

Задание № 1

Задание № 2

Задание № 3

Задание № 4

Задание № 5

Задание № 7

Задание № 8

Задача № 4

Задача № 5

Задача № 6

Список литературы

Задание № 1

3. б) Найти пределы функции:

Решение

Одна из основных теорем, на которой основано вычисление пределов:

Если существуют

и , то:

Следовательно:

Ответ: предел функции

Задание № 2

3. б) Найти производную функции:

Решение

Воспользуемся правилом дифференцирования сложных функций:

Пусть y = f(x); u = g(x), причем область значений функции u входит в область определения функции f.

Тогда

Применим это правило к заданной функции:

Ответ:

Задание № 3

3. Исследовать функцию и построить ее график:

Решение

1. Найдем область определения функции:

D(y)=R

2. Исследуем функцию на четность и нечетность, на периодичность.

Условие четности: f(x)=f(-x)

Условие нечетности: f(-x)=-f(x)

при x=1: y=0

при x=-1: y=-4

Условия не выполняются, следовательно, функция не является четной и нечетной.

Периодической называется такая функция, значения которой не изменяются при прибавлении к аргументу некоторого (отличного от нуля) числа – периода функции.

Функция

не периодична.

3. Найдем промежутки знакопостоянства, выясним поведение функции на концах промежутков.

y=0 при

;

Следовательно, имеем три промежутка:

Определим знак на каждом промежутке:

при x= -1 y=-4 < 0

при x= 0,5 y=0,125 > 0

при x= 2 y=2 > 0

Тогда: для

, для

Рассмотрим поведение функции на концах промежутков:

4. Найдем промежутки монотонности функции, ее экстремумы.

Найдем производную функции:

при

,

- точки экстремума, они делят область определения функции на три промежутка:

Исследуемая функция в промежутке

– возрастает

– убывает

- возрастает

5. Найдем промежутки выпуклости графика функции, ее точки перегиба.

Найдем вторую производную функции:

при - точка перегиба

Для

,

следовательно, график функции на этом интервале выпуклый вверх.

Для

,

следовательно, график функции на этом интервале выпуклый вниз.

6. По полученным данным построим график функции.

Рис. 3 График функции

Задание № 4

Найти интеграл:

3.

Решение

Неопределенным интегралом функции f(x) называется совокупность первообразных функций, которые определены соотношением:

F(x) + C.

Записывают:

Условием существования неопределенного интеграла на некотором отрезке является непрерывность функции на этом отрезке.

Замена переменной в неопределенном интеграле производится с помощью подстановки:

Ответ:

.

Задание № 5

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, используя определенный интеграл. Сделать чертеж.

, , , .

Решение.

Построим график функции:

при х=-2: y = 12

при х=-1: y = 5

при х=0: y = 0

при х=1: y = -3

при х=2: y = -4

при х=3: y = -3

при х=4: y = 0

при х=5: y = 5

Рис. 1 График

Найдем точки пересечения графика функции с осью Оx:

Определим площадь полученной фигуры через определенный интеграл:

кв. ед.

Ответ: площадь фигуры, ограниченной заданными линиями = 13 кв. ед.

Задание № 7.

Найти общее решение или общий интеграл дифференциального уравнения, решить задачу Коши для заданных начальных условий:

, при

Решение

Общий вид дифференциального уравнения:

Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция

от переменной x и произвольной постоянной C, обращающая уравнение в тождество. Общее решение, записанное в неявном виде , называется общим интегралом.

Решение, полученное из общего при фиксированном значении С:

, где - фиксированное число, полученное при заданных начальных условиях , называется частным решением, или решением задач Коши.

Найдем общее решение или общий интеграл: