Вычислительная математика (стр. 13 из 20)

Погрешность приближения в соответствии с формулой (4.13) составит

D =

. (4.20)

Рассмотрим частные случаи m =1 и m = 2.

1. Линейная аппроксимация (m = 1).

P₁(x) = a₀ + a₁x.

c₀ =

= n + 1; c₁ = = ; c₂ = ; (4.21)

b₀ =

= ; b₁ = = . (4.22)

c₀c₁ n+1

C = = ,

c₁ c₂

b = (b₀, b₁)^T = (

, )^T.

Решение системы уравнений Ca = b найдем по правилу Крамера:

a₀ =

, a₁ = ,

где úCú – определитель матрицы C, аúC_iú – определитель матрицы C_i, полученной из матрицы C заменой i-го столбца столбцом свободных членов b, i = 1, 2.

Таким образом,

a₀ =

, a₁ = . (4.23)

Алгоритм 4.1 (Алгоритм метода наименьших квадратов. Линейная аппроксимация).

Шаг 1. Ввести исходные данные: x_i, y_i, i=0, 1, 2, ... , n.

Шаг 2. Вычислить коэффициенты c₀, c₁, b₀, b₁ по формулам (4.21), (4.22).

Шаг 3. Вычислить a₀, a₁ по формулам (4.23).

Шаг 4. Вычислить величину погрешности

D₁ =

. (4.24)

Шаг 5. Вывести на экран результаты: аппроксимирующую линейную функцию P₁(x) = a₀ + a₁x и величину погрешности D₁.

2. Квадратичная аппроксимация (m = 2).

P₂(x) = a₀ + a₁x + a₂x².

c₀ =

= n+1; c₁ = = ; c₂ = ; c₃ = ; c₄ = . (4.25)

b₀ =

= ; b₁ = = ; b₂ = . (4.26)

c₀c₁c₂

C = c₁ c₂c₃ .

c₂c₃c₄

b = (b₀, b₁, b₂)^T .

Решение системы уравнений Ca = b найдем по правилу Крамера:

a_i =

, i = 0, 1,

где úCú – определитель матрицы C, аúC_iú – определитель матрицы C_i, полученной из матрицы C заменой i-го столбца столбцом свободных членов b.

úCú = c₀c₂c₄ + 2c₁c₂c₃ – c

– с

c₄ – c

c₀. (4.27)

b₀c₁c₂

úC₁ú = b₁c₂c₃ = b₀c₂c₄ + b₂c₁c₃ + b₁c₂c₃ – b₂c

– b₁c₁c₄ – b₀c

. (4.28)

b₂c₃c₄

c₀b₀c₂

úC₂ú = c₁b₁c₃ = b₁c₀c₄ + b₀c₂c₃ + b₂c₁c₂ – b₁c

– b₀c₁c₄ – b₂c₀c₃. (4.29)

c₂b₂c₄

c₀c₁b₀

úC₃ú = c₁c₂b₁ = b₂c₀c₂ + b₁c₁c₂ + b₀c₁c₃ – b₀c

– b₂c

– b₁c₀c₃. (4.30)

c₂c₃b₂

a₀ =

, a₁ = , a₂ = . (4.31)

Алгоритм 4.2 (Алгоритм метода наименьших квадратов. Квадратичная аппроксимация).

Шаг 1. Ввести исходные данные: x_i, y_i, i=0, 1, 2, ... , n.

Шаг 2. Вычислить коэффициенты c₀, c₁, c₂, c₃, c₄, b₀, b₁, b₂, по формулам (4.25), (4.26).

Шаг 3. Вычислить úCú, úC₁ú, úC₂ú, úC₃ú по формулам (4.27) – (4.30).

Шаг 4. Вычислить a₀, a₁, a₂ по формулам (4.31).

Шаг 5. Вычислить величину погрешности

D₂ =

. (4.32)

Шаг 5. Вывести на экран результаты : аппроксимирующую квадратичную функцию P₂(x) = a₀ + a₁x + a₂x² и величину погрешности D₂.

Пример 4.6.

Построим по методу наименьших квадратов многочлены первой и второй степени и оценим степень приближения. Значения y_i в точках x_i , i =0, 1, 2, 3, 4 приведены в таблице 2.3.

Таблица 4.1

i	0	1	2	3	4
xi	1	2	3	4	5
yi	–1	1	2	4	6

Вычислим коэффициенты c₀, c₁, c₂, c₃, c₄, b₀, b₁, b₂, по формулам (4.25), (4.26):

c₀ = 5; c₁ = 15; c₂ = 55; c₃ = 225; c₄ = 979;

b₀ = 12; b₁ = 53; b₂ = 235.

1. Линейная аппроксимация (m =1).

Система уравнений для определения коэффициентов a₀ и a₁ многочлена первой степени P₂(x) = a₀ + a₁x + a₂x² имеет вид

5a₀ + 15a₁ = 12