Вычислительная математика (стр. 15 из 20)
Рис. 5.7
Тогда площадь криволинейной трапеции приближенно можно считать равной площади фигуры, составленной из трапеций. Так как площадь трапеции, построенной на отрезке [xi, xi+1] длины h = 
, равна h 
, то, пользуясь этой формулой для i = 0, 2, … , n – 1, получим квадратурную формулу трапеций:
I= 
»Iтр =h 
=
(5.7)Оценка погрешности. Для оценки погрешности формулы трапеций воспользуемся следующей теоремой.
Теорема 5.2. Пусть функция f дважды непрерывно дифференцируема на отрезке [a, b]. Тогда для формулы трапеций справедлива следующая оценка погрешности:
| I – Iтр | £
h2, (5.8)где M2 =
|f "(x)|.Пример 5.2.
Вычислим значение интеграла
по формуле трапеций (5.7) и сравним полученный результат с результатом примера 5.1.Используя таблицу значений функции e 
из примера 5.1 и производя вычисления по формуле трапеций (5.7), получим: Iтр = 0.74621079.
Оценим погрешность полученного значения. В примере (5.1) получили оценку: | f "(x)| £ M2 = 2. Поэтому по формуле (5.8)
I – Iтр | £
(0.1)2 » 1.7× 10-3.Сравнивая результаты примеров 5.1 и 5.2, видим, что метод средних прямоугольников имеет меньшую погрешность, т.е. он более точный.
5.4 Метод Симпсона (метод парабол)
Заменим график функции y = f(x) на отрезке [xi, xi+1], i = 0, 2, … , n – 1, параболой, проведенной через точки (xi, f(xi)), (x 
,f(x )), (xi+1, f(xi+1)), где x - середина отрезка [xi, xi+1]. Эта парабола есть интерполяционный многочлен второй степени L2(x) с узлами xi, x , xi+1. Нетрудно убедиться, что уравнение этой параболы имеет вид:
y = L2(x) =
f(x ) +
(x – x ) + 
(x - x )2, (5.9)где h = 
.
Проинтегрировав функцию (5.9) на отрезке [xi, xi+1], получим
Ii =
» 
= 
( f(xi) + 4f(x ) + f(xi+1)). (5.10)Суммируя выражение (5.10) по i = 0, 1, 2, … , n – 1, получим квадратурную формулу Симпсона (или формулу парабол):
I = 
» IС =
( f(x0) + f(xn) + 4 
+ 2 
). (5.11)Оценка погрешности. Для оценки погрешности формулы Симпсона воспользуемся следующей теоремой.
Теорема 5.2. Пусть функция f имеет на отрезке [a, b] непрерывную производную четвертого порядка f (4)(x). Тогда для формулы Симпсона (5.9) справедлива следующая оценка погрешности:
| I – IС | £
h4, (5.12)где M4 =
| f (4)(x)|.Замечание. Если число элементарных отрезков, на которые делится отрезок [a, b], четно , т.е. n = 2m, то параболы можно проводить через узлы с целыми индексами, и вместо элементарного отрезка [xi, xi+1] длины h рассматривать отрезок [x2i, x2i+2] длины 2h. Тогда формула Симпсона примет вид:
I »
(f(x0) + f(x2m) + 4 
+ 2 
), (5.13)а вместо оценки (5.10) будет справедлива следующая оценка погрешности:
| I – IС | £
h4, (5.14)Пример 5.3.
Вычислим значение интеграла
по формуле Симпсона (5.11) и сравним полученный результат с результатами примеров 5.1 и 5.2.Используя таблицу значений функции e 
из примера 5.1 и производя вычисления по формуле Симпсона (5.11) , получим:
IС = 0.74682418.
Оценим погрешность полученного значения. Вычислим четвертую производную f (4)(x).
f (4)(x) = (16x4 – 48x2 + 12) e , | f (4)(x)| £ 12.
Поэтому
| I – IС | £
(0.1)4 » 0.42 × 10-6.Сравнивая результаты примеров 5.1, 5.2 и 5.3, видим , что метод Симпсона имеет меньшую погрешность, чем метод средних прямоугольников и метод трапеций.
5.5 Правило Рунге практической оценки погрешности
Оценки погрешности по формулам (5.4), (5.8) и (5.12) являются априорными. Они зависят от длины элементарного отрезка h, и при достаточно малом h справедливо приближенное равенство:
I – Ih » Chk, (5.15)
где Ih приближенное значение интеграла, вычисленное по одной из формул (5.3), (5.5), (5.9), C ¹ 0 и k > 0 – величины, не зависящие от h.
Если уменьшить шаг h в два раза, то, в соответствии с (5.15) получим:
I – Ih/2 »
Chk » ( I – Ih). (5.16)Непосредственное использование оценок погрешности (5.4), (5.8) и (5.12) неудобно, так как при этом требуется вычисление производных функции f (x). В вычислительной практике используются другие оценки.
Вычтем из равенства (5.15) равенство (5.16):
Ih/2 – Ih »
Chk(2k – 1). (5.17)Учитывая приближенное равенство (5.16), получим следующее приближенное равенство:
I – Ih/2 »
. (5.18)Приближенное равенство (5.18) дает апостериорную оценку погрешности. Вычисление этой оценки называется правилом Рунге. Правило Рунге – это эмпирический способ оценки погрешности, основанный на сравнении результатов вычислений , проводимых с разными шагами h.
Для формул прямоугольников и трапеций k = 2, а для формулы Симпсона k = 4. Поэтому для этих формул приближенное равенство (5.18) принимает вид:
I – Iпр »
, (5.19)I – Iтр »
, (5.20)I – IС »
. (5.21)Используя правило Рунге, можно построить процедуру приближенного вычисления интеграла с заданной точностью e. Нужно, начав вычисления с некоторого значения шага h, последовательно уменьшать это значения в два раза, каждый раз вычисляя приближенное значение I 
. Вычисления прекращаются тогда, когда результаты двух последующих вычислений будут различаться меньше, чем на e.
Пример 5.4.
Найдем значение интеграла
с точностью e = 10-4, используя формулу трапеций и применяя вышеизложенную процедуру дробления шага. В примере 5.2 было получено значение I при h1 = 0.1, Ih =0.74621079. Уменьшим шаг вдвое: h2 = 0.05 и вычислим I 
= 0.74667084, e2 = 
( I - I ) = 
(0.74667084 – 0.74621079) » 1.5×10-4. Так как |e2| > e, то снова дробим шаг: h3 = 0.025, вычисляем I 
= 0.74678581, e2 = ( I - I ) = (0.74678581 – 0.74667084) » 4×10-5. Поскольку |e3| < e, требуемая точность достигнута и I » 0.7468 ± 0.0001.