Вычислительная математика (стр. 16 из 20)

Тема 6. Численное решение дифференциальных уравнений

6.1 Постановка задачи Коши

Известно, что обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид:

y' (t) = f(t, y(t)). (6.1)

Решением уравнения (6.1) является дифференцируемая функция y(t), которая при подстановке в уравнение (6.1) обращает его в тождество. На рис. 6.1 приведен график решения дифференциального уравнения (6.1). График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.

Рис. 6.1

Производную y'(t) в каждой точке (t, y) можно геометрически интерпретировать как тангенс угла a наклона касательной к графику решения, проходящего через эту точку, т е.: k = tga = f(t, y).

Уравнение (6.1) определяет целое семейство решений. Чтобы выделить одно решение, задают начальное условие:

y(t₀) = y₀, (6.2)

где t₀ – некоторое заданное значение аргумента t, а y₀ – начальное значение функции.

Задача Коши заключается в отыскании функции y = y(t), удовлетворяющей уравнению (6.1) и начальному условию (6.2). Обычно определяют решение задачи Коши на отрезке, расположенном справа от начального значения t₀, т. е. для t Î [t₀, T].

Разрешимость задачи Коши определяет следующая теорема.

Теорема 6.1. Пусть функция f(t, y) определена и непрерывна при t₀£ t £ T, -¥ < y < ¥ и удовлетворяет условию Липшица:

| f(t, y₁) – f(t, y₂)| £ L| y₁ – y₂|,

где L некоторая постоянная, а y₁ , y₂ – произвольные значения.

Тогда для каждого начального значения y₀ существует единственное решение y(t) задачи Коши для t Î [t₀, T].

Даже для простых дифференциальных уравнений первого порядка не всегда удается получить аналитическое решение. Поэтому большое значение имеют численные методы решения. Численные методы позволяют определить приближенные значения искомого решения y(t) на некоторой выбранной сетке значений аргумента t_i, (i = 0, 1, …). Точки t_i называются узлами сетки, а величина h_i = t_i₊₁ – t_i – шагом сетки. Часто рассматривают равномерные сетки, для которых шаг h_iпостоянен, h_i= h =

. При этом решение получается в виде таблицы, в которой каждому узлу сетки t_i соответствуют приближенные значения функции y(t) в узлах сетки y_i » y(t_i).

Численные методы не позволяют найти решение в общем виде, зато они применимы к широкому классу дифференциальных уравнений.

Сходимость численных методов решения задачи Коши. Пусть y(t) – решение задачи Коши. Назовем глобальной погрешностью (или просто погрешностью) численного метода функцию e_i = y(t_i) – y_i , заданную в узлах сетки t_i. В качестве абсолютной погрешности примем величину R =

| y(t_i) – y_i|

Численный метод решения задачи Коши называется сходящимся, если для него R ® 0 при h ® 0. Говорят, что метод имеет p-ый порядок точности, если для погрешности справедлива оценка R £ Ch^p, p > 0, C – константа, C ¹ 0.

6.2 Метод Эйлера

Простейшим методом решения задачи Коши является метод Эйлера.

Будем решать задачу Коши

y' (t) = f(t, y(t)).

y(t₀) = y₀,

на отрезке [t₀, T]. Выберем шаг h =

, и построим сетку с системой узлов

t_i = t₀ + ih, i = 0, 1, …, n.

В методе Эйлера вычисляются приближенные значения функции y(t) в узлах сетки :y_i » y(t_i).

Заменив производную y' (t) конечными разностями на отрезках [t_i, t_i+1], i = 0, 1, …, n – 1, получим приближенное равенство:

= f(t_i, y_i), i = 0, 1, …, n – 1,

которое можно переписать так:

y_i+₁ = y_i + h f(t_i, y_i), i = 0, 1, …, n – 1. (6.3)

Формулы (6.3) и начальное условие (6.2) являются расчетными формулами метода Эйлера.

Геометрическая интерпретация одного шага метода Эйлера заключается в том, что решение на отрезке [t_i, t_i+1] заменяется касательной y = y' (t_i)( t - t_i), проведенной в точке (t_i, y(t_i)) к интегральной кривой, проходящей через эту точку. После выполнения n шагов неизвестная интегральная кривая заменяется ломаной линией (ломаной Эйлера).

Оценка погрешности. Для оценки погрешности метода Эйлера воспользуемся следующей теоремой.

Теорема 6.2. Пусть функция f удовлетворяет условиям:

£ K,
=

£ L. (6.4)

Тогда для метода Эйлера справедлива следующая оценка погрешности:

R =

| y(t_i) – y_i| £

где l – длина отрезка [t₀, T]. Мы видим , что метод Эйлера имеет первый порядок точности.

Оценка погрешности метода Эйлера часто бывает затруднительна, так как требует вычисления производных функции f(t, y(t)). Грубую оценку погрешности дает правило Рунге (правило двойного пересчета), которое используется для различных одношаговых методов, имеющих p-ый порядок точности. Правило Рунге заключается в следующем. Пусть y

– приближения, полученные с шагом

, а y
– приближения, полученные с шагом h. Тогда справедливо приближенное равенство:

- y(t_i)| »

|y
- y
| . (6.5)

Таким образом, чтобы оценить погрешность одношагового метода с шагом

, нужно найти то же решение с шагом h и вычислить величину, стоящую справа в формуле (6.5), т е.

R »

|y
- y
| (6.6)

Так как метод Эйлера имеет первый порядок точности, т. е. p = 1, то приближенное равенство (6.6) примет вид

R » |y

- y
| (6.7)

Используя правило Рунге, можно построить процедуру приближенного вычисления решения задачи Коши с заданной точностью e. Нужно, начав вычисления с некоторого значения шага h, последовательно уменьшать это значение в два раза, каждый раз вычисляя приближенное значение y

, i = 0, 1, …, n. Вычисления прекращаются тогда, когда будет выполнено условие: