Вычислительная математика (стр. 19 из 20)
Таблица 6.5
| ti | yi | ei | ti | yi | ei |
| 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 | 1.01005 1.04081 1.09417 1.17351 1.28403 | 10-9 4×10-9 2×10-8 6×10-8 2×10-7 | 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 | 1.43333 1.63232 1.89648 2.24790 2.71827 | 5×10-7 2×10-6 3×10-6 6×10-6 2×10-5 |
Задачи к зачету по курсу “Вычислительные методы”
Указание. Каждый студент вначале должен определить параметр своего контрольного задания, s = log10(1 +
), где k - номер студента в списке группы, k = 1, 2, … Решение задач должно быть оформлено аккуратно и содержать все промежуточные расчеты. В качестве образца можно взять примеры, рассмотренные в соответствующих разделах методических указаний.1. Методом деления отрезка пополам найти корень уравнения
4(1 – x2) – ex= s с точностью e = 10-3.
2. Методом Зейделя решить систему уравнений с точностью e =10-3.
6.2+s 2.2+s 1.2+s 16.55+sA = 2.2+s 5.5+s -1.5+s , b = 10.55+s .
1.2+s -1.5+s 7.2 +s 16.80+s
3. Найти приближение функции f(x) = esx на отрезке [0, 1] многочленом Тейлора с точностью e = 10-3 . Вычислить es.
4. Вычислить приближенно по формуле средних прямоугольников интеграл
при n = 4 и оценить погрешность результата.5. Методом Эйлера найти численное решение задачи Коши
y' = 2sy; y(0) = 1, на отрезке [0, 1] с шагом h = 0.2.
Сравнить с точным решением.
Указания к выполнению лабораторных работ
Программой курса предусмотрено проведение четырех лабораторных работ. Лабораторные работы ориентированы на использование системы Maple.
Система Maple V была создана группой символьных вычислений в 1980 году в университете Waterloo, Канада. В конце 1997 года вышла реализация Maple V R5.
Maple V принадлежит к классу прикладных программных пакетов, объединенных под общим названием Computer Algebra Systems (CAS) - системы компьютерной алгебры. Самым важным отличием Maple от таких пакетов как MathCad, MatLAB, Mathematica, является то, что она была изначально задумана как символьный пакет. Как и любой представитель данного семейства продуктов, Maple ориентирована на решение широкого ряда математических проблем. Она включает в себя большое количество специальных пакетов для решения задач линейной и тензорной алгебры, евклидовой и аналитической геометрии, теории чисел, теории графов, теории вероятностей, математической статистики, комбинаторики, теории групп, численной аппроксимации и линейной оптимизации, задач финансовой математики и многих других.
В основу Maple положен алгоритмический язык высокого уровня, предназначенный для реализации обычного процедурного программирования. Maple-язык "понимает" все стандартные объекты типа циклов (while, for), операторов условного перехода (if-then-else), массивов (array), списков (list), наборов (set), таблиц и т.д. Есть также возможность работы с файлами, что позволяет строить системы, состоящие из множества модулей, подгружая необходимые процедуры в процессе выполнения программы, а также реализовывать ввод и вывод больших объемов данных. Реализованы также все стандартные процедуры обработки строковой информации.
Применение Maple в образовании способствует повышению фундаментальности математического образования и сближает нашу образовательную систему с западной.
Лабораторные работы предполагают использование встроенных функций Maple, позволяющих решать основные задачи курса "Вычислительные методы".
В задачах используется параметр n – номер студента в списке группы.
Лабораторная работа №1.
Решение нелинейных уравнений и систем линейных уравнений.
Используемые функции: solve, fsolve, plot.
1. Найти точное решение уравнения:5x2+2x – n = 0.
2. Найти приближенное решение этого же уравнения.
3. Построить график левой части уравнения.
4. Найти приближенное решение уравнения x2ex – n = 0.
5. Построить график левой части уравнения.
6. Найти точное решение системы уравнений.
2x1 + 6x2 – x3 = –12 + n5x1 – x2 + 2x3 = 29 + n
–3x1 – 4x2 + x3 = 5 + n
7. Найти приближенное решение этой же системы уравнений.
Лабораторная работа №2.
Построение интерполяционных многочленов.
Используемые функции: interp, plot, subs.
1. Найти приближение функции, заданной в точках, многочленом, значения которого совпадают со значениями функции в указанных точках.
x 1 3 5 7 9
y 0+n 4+n 2+n 6+n 8+n
2. Построить график полученного интерполяционного многочлена .
3. Найти значение функции в точке x = 6.
Лабораторная работа №3
Вычисление определенных интегралов.
Используемые функции: int, plot, evalf.
1. Найти аналитическое выражение для неопределенного интеграла
.2. Построить графики найденного интеграла - красным цветом и подинтегральной функции - синим цветом.
3. Вычислить значение этого интеграла в пределах от 2 до n + 2:
4. Вычислить приближенное значение интеграла
.Лабораторная работа №4
Решение обыкновенных дифференциальных уравнений.
Используемые функции: dsolve, plot, odeplot, op, with.
1. Найти аналитическое решение задачи Коши: y'(t) = (1/n)(t + y), y(0) = n.
2. Построить график найденного решения на отрезке [0, n].
3. Найти численное решение задачи Коши y'(t) = sin(ny(t))+t2), y(0) = n в точках t = 1 и t = 2.
4. Построить график найденного решений на отрезке [0, 5].
Указания к выполнению курсовых работ
Цель курсовой работы – приобретение студентами практического опыта реализации на ЭВМ алгоритмов численных методов для конкретных задач. Язык программирования выбирает студент.
Требования к выполнению курсовой работы
Результаты курсовой работы оформляются в виде отчета. Отчет по курсовой работе должен содержать следующие разделы:
1. Постановка задачи.
2. Описание математического метода.
3. Описание алгоритма реализации математического метода в виде блок-схемы или по шагам.
4. Листинг программы.
5. Контрольный пример. Анализ полученных результатов.
Темы курсовых работ
Решение нелинейных уравнений
Указание. В курсовых работах 1 – 10 необходимо проанализировать два предложенных метода решения нелинейных уравнений, написать алгоритмы и программы этих методов. С помощью этих программ решить контрольный пример, предварительно локализовав корни уравнения (п. 2.2). Дать сравнительный анализ полученных результатов.
1. Решение нелинейных уравнений методом деления отрезка пополам и методом простых итераций.
Контрольный пример. Найти один действительный корень уравнения x5 – x – 1 = 0 с точностью e = 10-5.
Указание. При применении метода простых итераций преобразовать исходное уравнение так, чтобы итерационный процесс сходился (п. 2.4).
2. Решение нелинейных уравнений методом деления отрезка пополам и методом секущих.
Контрольный пример. Найти три корня уравнения x3 – 4x2 + 2 = 0 с точностью e = 10-5.
3. Решение нелинейных уравнений методом деления отрезка пополам и методом Ньютона.
Контрольный пример. Найти три корня уравнения x3 + 3x2 – 1 = 0 с точностью e = 10-5.
4. Решение нелинейных уравнений методом деления отрезка пополам и методом ложного положения.
Контрольный пример. Найти три корня уравнения x3 + 3x2 – 1 = 0 с точностью e = 10-5.
5. Решение нелинейных уравнений методом простых итераций и методом Ньютона.
Контрольный пример. Найти один действительный корень уравнения x = 0.5
с точностью e = 10-5.6. Решение нелинейных уравнений методом простых итераций и методом секущих.
Контрольный пример. Найти один действительный корень уравнения x = 0.5
с точностью e = 10-5.7. Решение нелинейных уравнений методом простых итераций и методом ложного положения.
Контрольный пример. Найти один действительный корень уравнения x = 0.5
с точностью e = 10-5.