Вычислительная математика (стр. 6 из 20)
a 
xn = b 
с треугольной матрицей An.
Приведение системы (3.1) к треугольному виду (3.8) составляет прямой ход метода Гаусса.
При использовании метода Гаусса нет необходимости в предварительном обосновании существования и единственности решения (т. е. доказательства, что det A ¹ 0). Если на k-ом шаге все элементы a 
(i = k, k + 1, …, n) окажутся равными нулю, то система (3.1) не имеет единственного решения.
Обратный ход состоит в вычислении переменных. Из последнего уравнения (3.8) определяем xn... Подставляя его в предпоследнее уравнение, находим xn-1, и т. д. Общие формулы имеют вид:
xn =
,xk =
(b 
- a 
xk+1- a 
xk+2 - … - a 
xn), k = n – 1, n – 2, …, 1 (3.9)Трудоемкость метода. Для реализации метода исключения Гаусса требуется примерно 2/3n3 операций для прямого хода и n2 операций для обратного хода. Таким образом, общее количество операций составляет примерно 2/3n3 + n2.
Пример 3.1.
Применим метод исключения Гаусса по схеме единственного деления для решения системы уравнений:
2.0x1 + 1.0x2 – 0.1x3 + 1.0x4 = 2.70.4x1 + 0.5x2 + 4.0x3 – 8.5x4 = 21.9
0.3x1 – 1.0x2 + 1.0x3 + 5.2x4 = – 3.9 (3.10)
1.0x1 + 0.2x2 + 2.5x3 – 1.0x4 = 9.9
Будем делать округление чисел до четырех знаков после десятичной точки.
Прямой ход. 1-ый шаг. Вычислим множители:
m 
=
= 
= 0.2; m 
= 
= 
= 0.15; m 
= 
= 
= 0.5.Вычитая из второго, третьего и четвертого уравнений системы (3.10) первое уравнение, умноженное соответственно на m , m 
, m , получим новую систему:
2.0x1 + 1.0x2 – 0.1x3 + 1.0x4 = 2.70.3x2 + 4.02x3– 8.70x4 = 21.36
–1.15x2 + 1.015x3 + 5.05x4 = – 4.305 (3. 11)
– 0.30x2 + 2.55x3 – 1.50x4 = 8.55
2-ой шаг. Вычислим множители:
m 
=
= 
= – 3.83333; m 
= 
= 
= –1.0.Вычитая из третьего и четвертого уравнений системы (3.11) второе уравнение, умноженное соответственно на m 
и m 
, приходим к системе:
2.0x1 + 1.0x2 – 0.1x3 + 1.0x4 = 2.70.3x2 + 4.02x3– 8.70x4 = 21.36
16. 425x3 – 28.300x4 = 77.575 (3.12)
6.570x3 – 10.200x4 = 29.910
3-ий шаг. Вычислим множитель:
m 
=
= 
= 0.4.Вычитая из четвертого уравнения системы (3.12) третье, умноженное на m 
, приведем систему к треугольному виду:
2.0x1 + 1.0x2 – 0.1x3 + 1.0x4 = 2.70.3x2 + 4.02x3– 8.70x4 = 21.36
16. 425x3 – 28.300x4 = 77.575 (3.13)
1.12x4 = –1.12
Обратный ход. Из последнего уравнения системы (3.13) находим x4 = 1.000. Подставляя значение x4 в третье уравнение, получим x3 = 2.000. Подставляя найденные значения x4 и x3 во второе уравнение, найдем x2 = 3.000. Наконец, из первого уравнения, подставив в него найденные значения x4, x3 и x2, вычислим x1 = –1.000.
Итак система (3.10) имеет следующее решение:
x1 = 1.000, x2 = 2.000, x3 = 3.000, x4 = – 1.000.
3.3 Метод исключения Гаусса с выбором главного элемента по столбцу
Хотя метод Гаусса является точным методом, ошибки округления могут привести к существенным погрешностям результата. Кроме того исключение по формулам (3.7) нельзя проводить, если элемент главной диагонали a 
равен нулю. Если элемент a 
мал, то велики ошибки округления при делении на этот элемент. Для уменьшения ошибок округления применяют метод исключения Гаусса с выбором главного элемента по столбцу. Прямой ход так же, как и для схемы единственного деления, состоит из n – 1 шагов. На первом шаге прежде, чем исключать переменную x1, уравнения переставляются так, чтобы в левом верхнем углу был наибольший по модулю коэффициент ai1, i = 1, 2, …, n. В дальнейшем, на k-м шаге, прежде, чем исключать переменную xk, уравнения переставляются так, чтобы в левом верхнем углу был наибольший по модулю коэффициент aik, i = k, k + 1, …, n. После этой перестановки исключение переменной xk производят, как в схеме единственного деления.
Трудоемкость метода. Дополнительные действия по выбору главных элементов требуют примерно n2 операций, что практически не влияет на общую трудоемкость метода.
Пример 3.2.
Применим метод исключения Гаусса с выбором главного элемента по столбцу для решения системы уравнений (3.10) из примера 3.1. Прямой ход. 1-ый шаг. Так как коэффициент a11 = 2.0 наибольший из коэффициентов первого столбца, перестановки строк не требуется и 1-ый шаг полностью совпадает с 1-ым шагом примера 3.1. Из второго, третьего и четвертого уравнений исключается переменная x1 и система приводится к виду (3.11).
2-ой шаг. Наибольший по модулю коэффициент при x2 в системе (3.11) a 
= –1.15. Поэтому переставим уравнения следующим образом:
2.0x1 + 1.0x2 – 0.1x3 + 1.0x4 = 2.7–1.15x2 + 1.015x3 + 5.05x4 = – 4.305 (3.14)
0.3x2 + 4.02x3– 8.70x4 = 21.36
– 0.30x2 + 2.55x3 – 1.50x4 = 8.55
Вычислим множители:
m =
= 
= –0.26087 m = 
= 
= 0.26087.