Вычислительная математика (стр. 9 из 20)
x4 = –0.0280x1 – 0.0779 x2 – 0.0405x3 + 1.5489
Величина b = max |bij|, i, j = 1, 2, 3,4 равна 0.1179, т. е. выполняется условие b £ 
, и можно пользоваться критерием окончания итерационного процесса (3.32).
В качестве начального приближения возьмем элементы столбца свободных членов:
x 
= 1.0383, x 
= 1.2953, x 
= 1.4525, x 
= 1.5489. (3.35)
Вычисления будем вести до тех пор, пока все величины |x 
– x 
|, i = 1, 2, 3, 4, а следовательно, и max|x 
– x 
| не станут меньше e = 10-3.
Последовательно вычисляем:
при k = 1
x 
= – 0.0574x – 0.1005x 
– 0.0431x + 1.0383 = 0.7512
x 
= –0.0566x 
– 0.0708x – 0.1179x + 1.2953 = 0.9511
x 
= –0.1061x – 0.0758 x – 0.0657x + 1.4525 = 1.1423
x
= –0.0280x – 0.0779x – 0.0405x + 1.5489 = 1.3601при k = 2
x 
= 0.8106, x 
= 1.0118, x 
= 1.2117, x 
= 1.4077.
при k = 3
x 
= 0.7978, x 
= 0.9977, x 
= 1.1975, x 
= 1.3983.
при k = 4
x 
= 0.8004, x 
= 1.0005, x 
= 1.2005, x 
= 1.4003.
Вычисляем модули разностей значений x при k = 3 и k = 4:
| x – x 
| = 0.026, | x – x | = 0.028, | x – x | = 0.0030, | x – x | = 0.0020.
Так как все они больше заданной точности e = 10-3, продолжаем итерации.
При k = 5
x 
= 0.7999, x 
= 0.9999, x 
= 1.1999, x 
= 1.3999.
Вычисляем модули разностей значений x при k = 4 и k = 5:
| x – x | = 0.0005, | x – x | = 0.0006, | x 
– x | = 0.0006, | x – x | = 0.0004.
Все они меньше заданной точности e = 10-3, поэтому итерации заканчиваем. Приближенным решением системы являются следующие значения:
x1 
0.7999, x2 0.9999, x3 1.1999, x4 1.3999.
Для сравнения приведем точные значения переменных:
x1 = 0.8, x2 = 1.0, x3 = 1.2, x4 = 1.4.
3.7 Метод Зейделя
Модификацией метода простых итераций Якоби можно считать метод Зейделя.
В методе Якоби на (k+1)-ой итерации значения x , i = 1, 2, …, n. вычисляются подстановкой в правую часть (3.27) вычисленных на предыдущей итерации значений x . В методе Зейделя при вычислении x используются значения x 
, x 
, x 
, уже найденные на (k+1)-ой итерации, а не x 
, x 
, …, x 
, как в методе Якоби, т.е. (k + 1)-е приближение строится следующим образом:
x = b12 x + b13 x 
+ … + b1,n-1 x 
+ b1n x 
+ c1
x = b21 x 
+ b23 x + … + b2,n-1 x 
+ b2n x + c2
x 
= b31 x + b32 x + … + b3,n-1 x + b3n x 
+ c3 (3.36)
x 
= bn1 x + bn2 x x + bn3 x x 
+ … + bn,n-1 x 
+ c.n