3) Умножение вектора на число.
Определение 3. Произведением вектора
1)
2) вектор
3) векторы
Очевидно, что операция умножения вектора на число приводит к его растяжению или сжатию. Противоположный вектор
Из определения 3 следует, что если
Определение 4. Любые два вектора
Величину
Из построения параллелограмма легко убедиться, что умножение вектора на число обладает распределительным свойством:
и сочетательным свойством
Определение 5. Вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором или ортом.
Обозначаются единичные векторы символами
Используя понятие единичного вектора, любой вектор можно представить следующим образом:
В процессе выполнения простейших операций иногда приходится сталкиваться с таким понятием, как проекция вектора на какую-либо ось. Введем вначале понятие угла между векторами.
Определение 1. Углом между векторами
|
Положительным считается отсчет угла против часовой стрелки.
Пусть необходимо найти проекцию вектора
|
Рис. 1
Определение 2. Проекцией вектора
Очевидно, что если
Теорема 1. Проекция вектора
Доказательство теоремы вытекает из Рис. 1.
Теорема 2. Проекция суммы двух векторов на ось равна сумме проекций слагаемых векторов на ту же ось.
Доказательство. Пусть
|
Тогда
Но
Теорема 3. Если вектор
Докажем для случая
Если
1. Артамонов Вячеслав Введение в высшую алгебру и аналитическую геометрию. Изд-во: Факториал, Факториал Пресс, 2007. - 128с.
2. Ефимов Н.В. Высшая геометрия. Издательство: ФИЗМАТЛИТ®, 2003. - 584c.
3. Клейн Ф. Высшая геометрия. изд. - 2. Издательство: Едиториал УРСС, 2004. - 400c.
4. Клейн Ф., Феликс Христиан Клейн Высшая геометрия: Пер. с нем. Изд.3. ЛИБРОКОМ, 2009. - 400c.