Линейные функции (стр. 2 из 2)

Получаем уравнение прямой

Используем формулу расстояния между двумя точками:

По условию второе решение не походит, т.к. x<0.

№ 8. Дана кривая

8.1. Доказать, что эта кривая — гипербола.

— это каноническое уравнение гиперболы. Приведем исходное уравнение к этому виду

Это каноническое уравнение гиперболы.

8.2 Найти координаты ее центра симметрии.

Сделаем схематический чертеж:

Центр симметрии гиперболы в точке

.

.

8.3. Найти действительную и мнимую полуоси.

8.4. Записать уравнение фокальной оси.

Фокальная ось проходит через фокус

, р-фокальный параметр (половина хорды, проведенной через фокус перпендикулярно действительной оси).

Уравнение

, где

8.5. Построить данную гиперболу построение проведено в п.8.2.

№ 9. Дана кривая

.

9.1. Доказать, что данная кривая — парабола.

Каноническое уравнение параболы

, заданное уравнение приведем к этому виду

следовательно, имеем параболу.

9.2. Найти координаты ее вершины.

Если уравнение параболы записано в виде

, координаты вершины .

9.3. Найти значение ее параметра р.

Из уравнения—— видно, что

.

9.4. Записать уравнение ее оси симметрии.

Данная ось проходит через вершину параболы перпендикулярно оси ОХ, ее уравнение

.

9.5. Построить данную параболу.

Все параметры известны. Найдем пересечение с осью OY.

№ 10. Дана кривая

.

10.1. Доказать, что эта кривая — эллипс.

Каноническое уравнение эллипса

Общее уравнение кривой второго порядка:

.

Перепишем заданное уравнение:

Введем обозначения:

Если

имеем эллипс. Проводим вычисления при a=8, b=6, c=17,d=-14, l=-23, f=-43.

следовательно, исходная кривая — эллипс.

10.2. Найти координаты центра его симметрии.

Применим формулу:

10.3. Найти его большую и малую полуоси.

Для этого приведем уравнение к каноническому виду, вычислим:

Уравнение запишем в виде:

где

Получим уравнение эллипса в новых координатах, где осями координат являются оси, полученные переносом начала координат в центр эллипса

и поворотом осей на угол α, определяемый уравнением , при этом угловой коэффициент новой оси

10.4. Записать общее уравнение фокальной оси.

Фокальная ось проходит через фокус перпендикулярно оси

. В новых координатах .

Воспользуемся формулой преобразования координат:

Осталось составить уравнение прямой, проходящей через точку с коэффициентом наклона 2. Общий вид такой прямой

, получим:

10.5. Построить данную кривую.

Для этого в старой системе координат строим новую систему. Новые оси направлены по прямым — y=2x-1 и

. Далее, определим вершины эллипса.

В новых координатах они равны

.

В старых: