Логарифмические уравнения (стр. 3 из 3)
При решении показательных неравенств используются следующие утверждения:
af(x) > ag(x)
равносильно неравенству
f(x) > g(x).
Аналогично, af(x) < ag(x) ; f(x) < g(x).
A.2. Если 0 < a < 1, неравенство
af(x) > ag(x)
равносильно неравенству
f(x) < g(x).
Аналогично, af(x) < ag(x) ; f(x) > g(x).
A.3. Неравенство
равносильно совокупности систем неравенств
 |  | h(x) > 1, |
| f(x) > g(x), | ||
| | 0 < h(x) < 1, | |
| f(x) < g(x). |
Замечание.. Если знак неравенства (1) нестрогий, дополнительно рассматривается и случай
| | h(x) = 1, |
| x D(f); D(g), |
где D(f) (D(g)) означает область определения функции f (g).
af(x) < b
не имеет решений (следует из свойств показательной функции).
A.5. Если b ≤ 0, множеством решений неравенства af(x) > b является x
D(f).A.6. Если a > 1, b > 0, неравенство
af(x) > b
равносильно неравенству
f(x) > logab.
Аналогично, af(x) < b ; f(x) < logab.
A.7. Если 0 < a < 1, b > 0, неравенство
af(x) > b
равносильно неравенству
f(x) < logab.
Аналогично, af(x) < b ; f(x) > logab.
Упражнение 1. Решить неравенства:
a)  |
| b) (0.3)|2x-3| < (0.3)|3x+4|, |
c)  |
Решение. a) Так как 2 > 1, используя утверждение A.1, получаем равносильное неравенство
которое решается методом интервалов,
b) Так как 0 < 0.3 < 1 используя утверждение A.2, получаем равносильное неравенство
|2x-3| > |3x+4|,
которое решается, используя свойства модуля (|a| > |b| (a-b)(a+b) > 0):
|2x-3| > |3x+4|
((2x-3)-(3x+4)) ((2x-3)+(3x+4)) > 0 (-x-7)(5x+1) > 0Решив последнее неравенство методом интервалов, получим x
(-7;-1/5).c) Используя утверждение A.3, получим
 | | 4x2+2x+1 > 1, | |
| x2-x > 0, | |||
 | 4x2+2x+1 < 1, | ||
| 4x2+2x+1 > 0, | |||
| x2-x < 0 | |||
 |  |  | x > 0, |
| x < -12, | |||
| | x > 1, | ||
| x < 0, | |||
 | x (-12;0), | ||
| x R, | |||
| x (0;1). |
| |
x (-  ; -12) (1;+ ), |
x  |
 x (- ;- 12) (1;+ ). |
Заключение
Математика, как и любая другая наука не стоит на месте, вместе с развитием общества меняются и взгляды людей, возникают новые мысли и идеи. И XX век не стал в этом смысле исключением. Появление компьютеров внесло свои корректировки в способы решения уравнений и значительно их облегчило. Но компьютер не всегда может быть под рукой (экзамен, контрольная), поэтому знание хотя бы самых главных способов решения уравнений необходимо знать. Использование уравнений в повседневной жизни – редкость. Они нашли свое применение во многих отраслях хозяйства и практически во всех новейших технологиях.
Список литературы
1. Курош А.Г. «Курс высшей алгебры» Москва 1975
2. Штейн Е.А. «Большая школьная энциклопедия» том 1; Москва 2004
3. М. Д. Аксенова. «Энциклопедия для детей». Том 11. Математика. – Аванта+, 1998.
4. Цыпкин А. Г. Под ред. С. А. Степанова. «Справочник по математике для средней школы». – М.: Наука, 1980
5. Г. Корн и Т. Корн. «Справочник по математике для научных работников и инженеров». – М.: Наука, 1970