Правило Крамера.
Рассмотрим систему (2.3). Назовем главным определителем этой системы определитель
, элементами которого являются коэффициенты при неизвестных: .Правило Крамера позволяет найти единственное решение системы или сделать вывод о существовании бесконечного числа решений либо об их отсутствии:
2) Если
система (2.3) имеет единственное решение, определяемое по формулам: .3) Если
= =0, система имеет бесконечно много решений.4) Если
=0, а хотя бы один из система не имеет решений.Совместность линейных систем.
Линейная система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет решений.
Совместная линейная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения.
Вопросы для самопроверки.
1. Как характеризуется вектор в n-мерной прямоугольной системе координат?
2. Чему равно скалярное произведение двух векторов?
3. Как определяется местоположение элемента в матрице?
4. Что такое единичная матрица?
5. Что такое транспонированная матрица?
6. Каким требованиям должны удовлетворять перемножаемые матрицы?
7. Что такое обратная матрица?
8. Как находить решение системы линейных алгебраических уравнений с помощью формулы Крамера?
9. Как находить решение системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса?
ТЕМА 3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Понятие скаляра и вектора. Модуль вектора. Операции со скалярами и векторами. Скалярное произведение. Прямоугольная система координат на плоскости и в пространстве. Расстояние между точками. Уравнения прямой на плоскости. Пересечение прямых. Прямая, проходящая через две данные точки. Прямая, параллельная и препендикулярная данной прямой. Уравнение плоскости. Кривые второго порядка: эллипс, гипербола, парабола.
КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ.
Скаляром называется величина, полностью характеризующаяся своим численным значением. Вектором называется направленный отрезок прямой. Обозначается
, .Отрезок имеет начало и конец, направление вектора указывается стрелкой. Величина, равная длине вектора, называется модулем (абсолютной величиной вектора) вектора а и обозначается |а|. Векторы называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.Вектор называется нулевым, если его начальная и конечная точки совпадают. Нулевой вектор не имеет определенного направления.
Два вектора называются равными, если они коллинеарны, имеют одинаковую длину (модуль) и одинаковое направление.
Векторы называются компланарными, если они лежат либо в одной плоскости, либо в параллельных плоскостях.
Линейные операции над векторами.
Суммой a + b векторов a и b называется вектор, идущий из начала вектора а в конец вектора b, если начало вектора b совпадает с концом вектора а
Свойства сложения:
Свойство 1. a + b = b + a.
Свойство 2. (a+b)+c=a+(b+c). b
Свойство 3. Для любого вектора a существует нулевой вектор О такой, что a+О=а.
Свойство 4. Для каждого вектора a существует противоположный ему вектор a/ такой, что а+а/=О.
Разностью а – bвекторов а и b называется такой вектор с, который в сумме с вектором b дает вектор а.
Произведением ka вектора а на число k называется вектор b, коллинеарный вектору а, имеющий модуль, равный |k||a|, и направление, совпадающее с направлением а при k>0 и противоположное а при k<0.
Свойства умножения вектора на число:
Свойство 1. k(a + b) = ka + kb.
Свойство 2. (k + m)a = ka + ma.
Свойство 3. k(ma) = (km)a.
Следствие. Если ненулевые векторы а и b коллинеарны, то существует такое число k, что b = ka.
Скалярное произведение векторов.
Скалярным произведением двух векторов называется произведение их модулей на косинус угла между ними:
ab = |a||b| cosφ . Обозначения скалярного произведения: ab, (ab), a·b .
Если векторы а и b определены своими декартовыми координатами
a = {X1, Y1, Z1}, b = {X2, Y2, Z2},
то ab = X1X2 + Y1Y2 + Z1Z2 .
Пусть на плоскости задана декартова система координат и некоторая линия L.
Уравнение Ф(х,у) = 0 называется уравнением линии L, если этому уравнению удовлетворяют координаты х и у любой точки, лежащей на линии L, и не удовлетворяют координаты ни одной точки, не лежащей на линии L.
Прямая на плоскости.
,каноническое уравнение прямой.
-уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.
Обозначив за t значения равных дробей, стоящих в левой и правой частях уравнения
можно преобразовать это уравнение к виду:
x = x0 + lt, y = y0 + mt -
параметрические уравнения прямой.
Для прямой l, не параллельной оси Оу, можно ввести так называемый угловой коэффициент k – тангенс угла, образованного прямой и осью Ох, и записать уравнение
прямой в виде:
у = kx + b -
уравнение прямой с угловым коэффициентом.
Действительно, все точки прямой l1, параллельной l и проходящей
через начало координат, удовлетворяют уравнению у = kх, а ординаты соответствующих точек на прямой l отличаются от них на постоянную величину b.
Неполные уравнения прямой.
1) С = 0 - прямая Ах + Ву = 0 проходит через начало координат.
2) В = 0 - прямая Ах + С = 0 параллельна оси Оу (так как нормаль к прямой {A,0} перпендикулярна оси Оу).
3) А = 0 - прямая Ву + С = 0 параллельна оси Ох.
4) В=С=0 – уравнение Ах = 0 определяет ось Оу.
5) А=С=0 – уравнение Ву = 0 определяет ось Ох.
где
и равны величинам отрезков, отсекаемых прямой на осях Ох и Оу. Уравнение прямой в отрезках.Угол между прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых.
1. Если прямые L1 и L2 заданы общими уравнениями
А1х + В1у + С1 = 0 и А2х + В2у + С2 = 0,
то
.2. Если прямые заданы каноническими уравнениями, по аналогии с пунктом 1 получим:
, - условие параллельности, - условие перпендикулярности.Здесь
и - направляющие векторы прямых.3. Пусть прямые L1 и L2 заданы уравнениями с угловыми коэффициентами
у = k1x+b1 и y = k2x + b2, где
, а α1 и α2 – углы наклона прямых к оси Ох, то для угла φ между прямыми справедливо равенство: φ = α2 - α1. Тогда .Условие параллельности имеет вид: k1=k2,
условие перпендикулярности – k2=-1/k1, поскольку при этом tgφ не существует.
Расстояние от точки до прямой.
Рассмотрим прямую L и проведем перпендикуляр ОР к ней из начала координат (предполагаем, что прямая не проходит через начало координат).
Расстояние от точки до прямой определяется так:
Замечание. Для того, чтобы привести общее уравнение прямой к нормальному виду, нужно умножить его на число
, причем знак выбирается противоположным знаку свободного члена С в общем уравнении прямой. Это число называется нормирующим множителем.Пример. Найдем расстояние от точки А(7,-3) до прямой, заданной уравнением
3х + 4у + 15 = 0. А² + B²=9+16=25, C=15>0, поэтому нормирующий множитель равен
-1/5, и нормальное уравнение прямой имеет вид:
Подставив в его левую часть вместо х и у координаты точки А, получим, что ее отклонение от прямой равно Следовательно, расстояние от точки А до данной прямой равно 4,8. Расстояние между двумя точками М(х,у,z) и N( х1,у1,z1) выражается формулой