Методические указания и контрольные задания для студентов-заочников (стр. 6 из 9)

Частным случаем операции умножения является возведение в степень:

формула Муавра.

Используя полученные соотношения, перечислим основные свойства комплексно сопряженных чисел:

Извлечение корня из комплексного числа.

Комплексное число

называется корнем n-й степени из z, если z = z₁ⁿ.

Пример. Число z = 16 можно представить в тригонометрической форме следующим образом: z = 16(cos0 + isin0). Найдем все значения

:

Показательная форма комплексного числа.

Введем еще одну форму записи комплексного числа. На множестве комплексных чисел существует связь между тригонометрическими и показательными функциями, задаваемая формулой Эйлера:

, Используя эту формулу, можно получить из еще один вид комплексного числа: который называется показательной формой записи комплексного числа.

Рассмотрим в комплексной области многочлен, то есть функцию вида

, где - комплексные числа. Числа называются коэффициентами многочлена, а натуральное число n – его степенью.

Два многочлена P_n (z) и

равны тогда и только тогда, когда m=n, a₀ = b₀ , a₁ = b₁ ,…, a_n = b_n .

Число z₀ называется корнем многочлена , если P_n (z₀) = 0.

Теорема (теорема Безу). Остаток от деления многочлена P_n(z) на z – z₀ ( z₀ – не обязательно корень многочлена) равен P(z₀).

Теорема (основная теорема алгебры). Всякий многочлен в комплексной области имеет корень .

Вопросы для самопроверки

1.Что такое мнимая единица?

2. Что такое вещественная и мнимая части комплексного числа? Являются ли они вещественными числами?

3. Что такое комплексно сопряженные числа? Чем отличаются изображения комплексно сопряженных чисел zи z* на комплексной плоскости?

4. Как изобразить на комплексной плоскости, пользуясь правилами сложения векторов, сумму и разность двух комплексных чисел7

5. Чему равно произведение комплексно сопряженных чисел?

6. Сколько решений имеет квадратное уравнение с вещественными коэффициентами? какие характерные случаи возможны?

7. В каком виде может быть представлен многочлен. если известны его корни?

ТЕМА 6. ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ

Понятие предела. предел суммы, произведения и частного. Предел сложной функции. Вычисление пределов. Замечательные пределы. Понятие непрерывности в точке и на интервале. Точки разрыва. Геометрический смысл. Непрерывность суммы , произведения и частного функций. непрерывность сложной функции. Непрерывность элементарных функций.

КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

Число A называется пределом функции y = f(x) в точке x₀ (иногда говорят, при x, стремящемся к x₀), если для любого положительного числа e можно найти такое положительное число d, что для всех x из d-окрестности точки x₀ соответствующие значения y попадают в e-окрестность точки y = A.

Можно сформулировать определение предела функции по-другому. Число A называется пределом функции y = f(x) в точке x₀, если для любого положительного числа e можно найти такое положительное число d, что для всех x, удовлетворяющих условию

0 < êx – x₀ê < d,

выполняется условие

êy – Aê < e.

Тот факт, что A есть предел функции y = f(x) в точке x = x₀, записывается формулой

.

Функция y = f(x) называется непрерывной в точке x = x₀, если она определена в этой точке и ее значение f(x₀) равно пределу функции в этой точке:

.

Функция y = x² непрерывна в точке x = 2, как и во всех точках числовой оси. Функция

не является непрерывной в точке x = 2. Функция не является непрерывной в точке x = 0.

Функция, непрерывная в каждой точке открытого промежутка, называется непрерывной на этом промежутке.

Cвойства предела функции.

1. Функция не может иметь в одной точке два разных предела.

2.

, если C — постоянная функция.

3. Если существует

и C — постоянная функция, то

.

4. Если существуют

и , то существует , равный , а также существует , равный . Если при этом , то существует , равный .

Число B называется пределом функции f(x) в точке a справа (это записывается в виде формулы

), если для любого положительного числа e найдется положительное число d, такое что из из условия 0 < x – a < d будет следовать êB –f(x) ê < e.

Согласно приведенному определению

.

Число С называется пределом функции f(x) в точке b слева (это записывается в виде формулы

), если для любого положительного числа e найдется положительное число d такое, что из условия 0 < b – x < d будет следовать êC – f(x)ê < e.

Функция f(x) называется непрерывной в точке a справа (непрерывной в точке b слева), если

( ).

Функция

непрерывна справа в точке x=0.

Функция называется непрерывной на замкнутом промежутке [a, b], если она непрерывна на открытом промежутке (a, b), непрерывна справа в точке a и непрерывна слева в точке b.

Для того, чтобы выполнялось равенство

, необходимо и достаточно, чтобы одновременно выполнялись два равенства:

;

Число А называется пределом функции f(x) при х, стремящемся к бесконечности:

,

если для любого положительного числа e можно найти такое положительное число M (зависящее от e), что для всех чисел х, превосходящих М, выполняется условие:

½f(x) – A½ < e.

Пусть теперь функция f(x) определена на полу бесконечном промежутке
(–¥; х₀). Число А называется пределом функции f(x) при х, стремящемся к минус бесконечности:

,

если для любого положительного числа e можно найти такое положительное число M (зависящее от e), что для всех чисел х, меньших, чем – М, выполняется условие:

½f(x) – A½ < e.

Два, так называемых, "замечательных предела".

1.

. Геометрический смысл этой формулы заключается в том, что прямая является касательной к графику функции в точке .

2.

. Здесь e — иррациональное число, приблизительно равное 2,72.

Вопросы для самопроверки.

1.Приведите пример функции, не имеющей предела в данной точке.

2.При каких условиях из существования пределов слева и справа следует существование предела функции в данной точке.

3.Какова связь между понятиями предела функции и бесконечно малой функции?

4.Какова связь между бесконечно малой и бесконечно большой функцией?

5.Приведите примеры бесконечно малых функций: эквивалентных, одного порядка, разного порядка малости.