Методические указания и контрольные задания для студентов-заочников (стр. 1 из 9)

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО РЫБОЛОВСТВУ

Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

МУРМАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Мончегорский филиал

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА.

Методические указания и контрольные задания для студентов-заочников специальности 061100 «Менеджмент организации»

Мончегорск 2005г.

Общие организационно-методические указания

Основные задачи при изучении курса «Высшая математика»:

· освоение наиболее употребительных понятий и определений математики;

· изучение основ линейной алгебры, математического анализа, дифференциальных уравнений;

· приобретение практических навыков в решении задач.

Учебными планами для студентов-заочников предусмотрены лекции, практические занятия с преподавателями, самостоятельная работа и выполнение контрольных работ. При изучении теоретического материала рекомендуется составлять краткие конспекты тем и ответить на вопросы для самопроверки, приведенные в конце каждой темы.

Программа курса рассчитана на два семестра. В каждом семестре необходимо выполнить две контрольные работы. В конце каждого семестра проводится экзамен.

Тематический план осеннего семестра

1. Множества. Числа.

2. Линейная алгебра.

3. Аналитическая геометрия.

4. Функции.

5. Комплексные числа. Многочлены.

6. Предел и непрерывность функции.

7. Дифференциальное исчисление.

Тематический план весеннего семестра.

1. Неопределенный интеграл.

2. Определенный интеграл.

3. Ряды.

4. Функции многих переменных.

5. Дифференциальные уравнения.

Рекомендуемая литература

1. Кремер Н.Ш,.и др. Высшая математика для экономистов/Кремер Н.Ш., Путко Б.А., Тришин И.М., Фридман М.Н.- М.: Банки и биржи, 1997. – 439с.

2. Маркович Э.С. Курс высшей математики с элементами теории вероятностей и математической статистики: Учеб. пособие для вузов. – 2-е изд., перераб. и доп., – Высш. шк., 1972. – 480 с.

3. Шипачев В.С. Основы высшей математики. М.: Высшая школа, 1989.

4. 4.Красс М.С. Математика для экономических специальностей: Учебник. – М.: ИНФРА-М, 1998. – 464с. – (Серия “Высшее образование”).

5. Дополнительная

6. Ивашев-Мусатов О.С. Начала математического анализа: Учеб. пособие для вузов. – 4-е изд., испр. – М. : Наука, 1981. – 159с.

7. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления: В 2 т.: Учеб. пособие для втузов. – М. : Наука, 1978. Т.1– 453с., Т.2 – 575с..

6. Мордкович А.Г., Смышляев В.К..Алгебра и начало анализа. М.: Просвещение, 1987

8. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа М. Наука 1968

9. Виленкин И.В. Гробер В.М. Высшая математика Ростов–на-Дону “Феникс” 2002

10. Ермаков В.И. Общий курс высшей математики для экономистов М. ИНФРА – М 2003

11. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике М. АЙРИС ПРЕСС 2004

12. Данко П.Е. Попов А.Г. Высшая математика в упражнениях и задачах М. Высшая школа 1999.

ТЕМА 1. МНОЖЕСТВА, ЧИСЛА

Понятие множества. Подмножество, объединение, пересечение, дополнение. Числовые множества: натуральные, целые, рациональные, действительные числа. Модуль числа. Интервал, окрестность, отрезок. Числовая ось.

КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ.

Множеством называется совокупность каких-либо объектов, обладающих общим для них характеристическим свойством. Эти объекты называются элементами множества. Если элемент а принадлежит множеству А, то пишут аÎА, если не принадлежит , аÏА. множество может состоять как из конечного, так и бесконечного числа элементов. множество, не содержащее ни одного элементы, называется пустым и обозначается О. Если каждый элемент множества А является одновременно элементом множества В, то множество а называется подмножеством множества В. Множество С, состоящее из элементов, каждый из которых принадлежит одновременно множеству А и множеству В, называется пересечением множеств А и В, обозначается С=А∩В. Множество С, состоящее из элементов, каждый из которых принадлежит хотя бы одному из множеств А и В, называется объединением А и В ( обозначается А U В).

если множество А является подмножеством В, то дополнением подмножества А до множества В называется множество D, состоящее из элементов, принадлежащих В, но не принадлежащих А ( обозначается D= В\А). N - множество натуральных чисел. Z -множество целых чисел. N подмножество Z: NÌZ. Q: m/n -множество рациональных чисел. I -множество иррациональных чисел. QUI = R, R- множество действительных чисел. Геометрическое изображение R - это множество точек числовой прямой. [а,в] - отрезок : а£´£в.

( а,в)- интервал : а<´< в.

аÎR , вÎR .

Вопросы для самопроверки.

1. Приведите примеры множеств, состоящих из конечного и из бесконечного числа элементов.

2. Сколько подмножеств можно образовать из множества Х={ х₁, х₂, х₃}?

3. Изобразите на бумагу два множества в виде двух частично перекрывающихся геометрических фигур (каждое множество состоит из точек, расположенных внутри соответствующей фигуры). Заштрихуйте объединение и пресечение множеств.

4. Приведите пример числового множества, состоящего из конечного числа элементов.

5. Какое из чисел больше6 –5 или 3? У какого из этих чисел больше модуль?

6. Приведите примеры интервала и отрезка. Чем отличается отрезоу от интервала?

7. Изобразите на числовой оси числа 2, ½, -1.

8. При каких х справедливо равенство |x³|= - x³?

ТЕМА 2. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Векторы в n-мерной системе координат. Матрицы. Определитель. Ранг матрицы. Сложение матриц. Умножение матрицы на вектор. Умножение матрицы на матрицу, коммутативность. Диагональная и единичная матрицы, транспонированная матрица. Треугольная матрица. Обратная матрица. Системы линейных алгебраических уравнений. Условия существования и единственности решения. Формула Крамера. Метод Гаусса.

КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ.

В некоторых приложениях употребляется n-мерная прямоугольная система координат, в которой формально введены не2 или 3, а n взаимно перпендикулярных координатных осей. Вектор в такой системе – это набор из n упорядоченных чисел – координат вектора.

Базис и координаты вектора.

. Линейной комбинацией векторов а_1, а₂,…,а_n называется выражение вида: k₁a₁ + k₂a₂ +…+ k_na_n, где k_i – числа.

Векторы а_1, а₂,…,а_nназываются линейно зависимыми, если найдутся такие числа k₁, k₂,…, k_n, не все равные нулю, что соответствующая линейная комбинация векторов равна нулю, т.е. k₁a₁ + k₂a₂ +…+ k_na_n = 0. Если же равенство возможно только при всех k_i = 0, векторы называются линейно независимыми.

Замечание 1. Если система векторов содержит нулевой вектор, то она линейно зависима.

Замечание 2. Если среди n векторов какие-либо (n-1) линейно зависимы, то и все n векторов линейно зависимы.

Замечание 3. Необходимым и достаточным условием линейной зависимости двух векторов является их коллинеарность.

Рассмотрим декартову систему координат, базис которой образуют в пространстве три попарно ортогональных единичных вектора i, j, k. Тогда любой вектор dможет быть представлен в виде их линейной комбинации:

d = Xi + Yj +Zk.

Числа X, Y, Z называются декартовыми координатами вектора d.

Замечание. Декартовы координаты вектора равны его проекциям на оси Ох, Оу и Оz декартовой системы координат.

Матрицей А=||a_ij || размера n´m называется прямоугольная таблица чисел.

Обозначения: А – матрица,

- элемент матрицы, номер строки, в которой стоит данный элемент, номер соответствующего столбца; m – число строк матрицы, n – число ее столбцов.

Числа m и n называются размерностями матрицы.

Матрица называется квадратной, если m = n. Число n в этом случае называют порядком квадратной матрицы. Каждой квадратной матрице можно поставить в соответствие число, определяемое единственным образом с использованием всех элементов матрицы. Это число называется определителем.

Определителем второго порядка называется число, полученное с помощью элементов квадратной матрицы 2-го порядка следующим образом:

.

При этом из произведения элементов, стоящих на так называемой главной диагонали матрицы (идущей из левого верхнего в правый нижний угол) вычитается произведение элементов, находящихся на второй, или побочной, диагонали.

Примеры.

1.

2.

Определителем третьего порядка называется число, определяемое с помощью элементов квадратной матрицы 3-го порядка следующим образом:

Замечание. Для того, чтобы легче запомнить эту формулу, можно использовать так называемое правило треугольников. Оно заключается в следующем: элементы, произведения которых входят в определитель со знаком «+», располагаются так:

образуя два треугольника, симметричных относительно главной диагонали. Элементы, произведения которых входят в определитель со знаком «-», располагаются аналогичным образом относительно побочной диагонали: