Методы коллокаций и Галеркина (стр. 2 из 3)

Докажем, что если для некоторой функции F(x)и полной системы функций

выполняется соотношение ортогональности

(2.66)

то функция

. Для этого из полной системы

последовательной ортогонализацией построим полную ортогональную систему

причем

иначе

были бы линейно зависимы. Разлагая по новой системе функцию F(x), найдем

Подставляя это разложение в соотношение ортогональности (2.66), придем к равенству

(2.67)

Вычислим последний интеграл:

так как

Таким образом, уравнение (2.67) принимает вид

.

Полагая здесь k=1, получим

, и так как

, то

. Полагая k=2, получим

, и так далее. Следовательно, все коэффициенты

в разложении функции F(x)равны нулю и поэтому F(x)тождественно равна нулю, что и требовалось доказать.

Возвращаясь теперь к задаче (2.62), (2.63), видим, что если бы мы нашли такую функцию y(x), удовлетворяющую условиям (2.63), и чтобы

было ортогонально

при любых

, то это означало бы, что

,и задача (2.62), (2.63) была бы решена. Если же ортогональность есть только при

, то в разложении

по системе

входят

и более старшие коэффициенты, то есть

Метод Галеркина состоит в том, что решение задачи (2.62), (2.63) ищется в виде (2.64), причем требуют ортогональности

к функциям полной системы

для

, то есть

(2.68)где

Это дает алгебраическую систему уравнений для определения коэффициентов a_k. Найдя из нее коэффициенты, получим приближенное решение.

Если оператор

нелинейный, то система (2.68) тоже будет нелинейной и решение ее весьма затруднительно. Если же оператор

линейный, то система (2.68) также будет линейной и можно решать задачу с большим числом коэффициентов.

В методе Галеркина функция

должна удовлетворять краевым условиям (2.63). Поэтому

можно выбрать в виде

,

и коэффициенты

найти как решение системы уравнений

Таким же образом отыскиваются функции

. Выберем, например, полную систему

в виде многочленов последовательных степеней:

.

Коэффициенты

найдем из однородных краевых условий (2.65)

(2.65^а)

при всех

.

Так, для

и условия (2.65^а) принимают вид:

В этой системе из двух уравнений три неизвестных:

и

. Одну из них можно выбрать произвольно, положив, например,

. Аналогично отыскивают коэффициенты

для

.

Для простых условий вида

то есть

функции

можно вычислять по правилу

или

Отметим, что при нелинейном краевом условии вида, например,

линейная комбинация (2.64) с произвольными коэффициентами a_kуже не будет удовлетворять этому краевому условию. Поэтому метод Галеркина применим только к задачам с линейными краевыми условиями, хотя допустим и нелинейный оператор L.

Пример 1. Методом Галеркина найти приближенное решение уравнения

с условиями

В качестве системы базисных функций

выберем

Ограничимся четырьмя функциями

, то есть k=0, 1, 2, 3. Решение будем искать в виде

Найдем функцию

.

Так как

, а

,

,

то получим

Потребует теперь ортогональности функции F(x) к функциям

. Это приводит к системе