Методы коллокаций и Галеркина (стр. 1 из 3)
Метод коллокаций
Пусть необходимо определить функцию 
, удовлетворяющую линейному дифференциальному уравнению
(2.50)
и линейными краевыми условиями
, (2.51)
причем 
Выберем некоторую совокупность линейно независимых функций
(2.52)
которую назовем системой базисных функций.
Пусть функция 
удовлетворяет неоднородным краевым условиям
(2.53)
а остальные функции удовлетворяют соответствующим однородным краевым условиям:
. (2.54)
Если краевые условия (2.51) однородны (A=B=0), то можно положить 
и рассматривать лишь систему функций 
.
Будем искать приближенное решение краевой задачи (2.50), (2.51) в виде линейной комбинации базисных функций
. (2.55)
Тогда функция yудовлетворяет краевым условиям (2.51). В самом деле, в силу линейности краевых условий имеем
и аналогично 
Составим функцию 
. Подставляя сюда вместо yвыражение (2.55), будем иметь
.(2.56)
Если при некотором выборе коэффициентов ciвыполнено равенство
при 
то функция yявляется точным решением краевой задачи (2.50), (2.51). Однако подобрать так удачно функции 
и коэффициенты ciв общем случае не удается. Поэтому ограничиваются тем, что требуют, чтобы функция 
обращалась в нуль в заданной системе точек 
из интервала [a,b], которые называются точками коллокации. Сама функция Rназываетсяневязкой уравнения (2.50). Очевидно, что в точках коллокации дифференциальное уравнение (2.50) будет удовлетворено точно, и невязка в этих точках равна нулю.
Итак, метод коллокации приводит к системе линейных уравнений
. (2.57)
Из системы (2.57) в случае ее совместности можно определить коэффициенты 
, после чего приближенное решение краевой задачи дается формулой (2.55).
Пример.Методом коллокации и методом сеток решить краевую задачу
(2.58)
1. Метод коллокаций.
В качестве базисных функций выберем полиномы
.
Эти полиномы удовлетворяют краевым условиям: 
За точки коллокации возьмем следующие абсциссы:
Ограничиваясь двумя базисными функциями, положим
Найдем функцию 
(2.59)
В точках коллокации 
получим
.
Подставляя сюда (2.59), найдем
(2.60)
Решив эту систему, определимкоэффициенты 
:
=0.957, 
=− 0.022.
Следовательно, приближенное решение будет иметь вид
.
Например, при x=0получим y(0)=0.957.
2. Метод сеток.
Для грубого решения выбираем шаг h=1/2 (см. рис. 2).
 |
Рис. 2. Иллюстрация к методу сеток
Полагая 
, ввиду симметрии уравнения и краевых условий, будем иметь:
(2.61)
Таким образом, нужно определить лишь две ординаты y0 и 
. Полагая x=0и пользуясь симметричными формулами для производных
,
получим:
Аналогично, при x=1/2, то есть при i=1, получаем
Учитывая теперь (2.61), найдем систему
Решая эту систему, отыщем y0=0.967,y1=0.721. Итак, сравним: метод коллокации дает y0=0.957, а метод сеток y0=0.967.
Пусть дано дифференциальное уравнение с линейными краевыми условиями
, (2.62)
(2.63)
Будем искать приближенное решение этой краевой задачи в виде суммы
(2.64)
где 
– некоторая непрерывная функция, удовлетворяющая неоднородным краевым условиям (2.63), а 
– какая-то система линейно независимых функций, удовлетворяющих однородным краевым условиям
(2.65)
и, кроме того функции 
при 
образуют в классе функций c2[a,b], удовлетворяющих условиям (2.65), полную систему.
Заметим, что свойство полноты понимается следующим образом.
Обозначим через Gкласс функций y(x), принадлежащих c2[a,b](то есть дважды непрерывно дифференцируемых на [a,b]) и удовлетворяющих граничным условиям (2.65). Говорят, что система функций 
полна в классе G, если для любого 
и любой функции 
можно указать такое nи такие параметры 
, что имеет место неравенство
где 
Это означает, что для любой допустимой функции найдется такая функция 
, которая на [a,b]будет сколь угодно точно приближать функцию y(x) вместе с ее производными 
и 
.