Методы оптимизации функций многих переменных (стр. 6 из 6)
Подставив
и 
во второй дифференциал функции Лагранжа, получим 
.Запишем матрицу квадратичной формы относительно приращений:
.Для "верхнего" знака
матрица 
.Для "нижнего" знака элементы матрицы меняют знак. Согласно критерию Сильвестра, в этой точке нет экстремума.
Сравним значения функции в остальных точках:
; 
; 
.Точкой глобального минимума является
,значение функции в этой точке
-0, 192450. 
.Проверим справедливость оценки
для точки 
, 
.Возьмем вектор
, ему соответствуют множители Лагранжа 
.Следовательно,
.Перепишем условие задачи, введя приращение
: 
; 
. 
Из первых трех уравнений получаем 
и подставим в последнее уравнение: 
, 
. 
. 
.Возьмем, например,
.С другой стороны,
.Аналогично для
и 
.Решить задачу максимизации квадратичной функции
при условиях 
15 и 
1,2,3.Перепишем условие следующим образом:
Функция Лагранжа имеет вид
.Необходимые и достаточные условия минимума:
, 
, 
, 
, 
, 
.Получаем систему уравнений и неравенств:
Для решения промежуточной задачи ЛП воспользуемся средствами MS Excel. Введем формулы, соответствующие системе (рис.2), и начальное приближение для решения системы уравнений (рис.3).
Рис.2. Ввод данных задачи
Рис.3. Задание начального приближения
Заполним поля диалога "Поиск решения" (рис.4).
Рис.4. Экранная форма "Поиск решения"
В окне "Параметры" установим флажок "Неотрицательные значения".
В результате решения найдена седловая точка функции Лагранжа
(х*,λ*) = (15; 0; 0; 30) (рис.5).
Рис.5. Результаты поиска решения.
Оптимальное решение задачи: х* (15; 0; 0), f (x*) = 225.
4. Задания для лабораторного практикума
Решить задачу минимизации функции методом множителей Лагранжа.
Решить ЗНП методом седловой точки. Промежуточную задачу решения СЛАУ решить, используя EXCEL.
1.
.2.
.3.
.4.
.5.
.6.
.7.
.8.
.Ограничения (для всех вариантов):
.Контрольные вопросы:
Активные и пассивные ограничения. Регулярная задача.
Теорема Куна-Такера.
Достаточные условия минимума в задачах математического программирования.
Седловая точка.
Метод седловой точки для задачи квадратичного программирования.
Библиографический список
1. Стандарт предприятия: Общие требования и правила оформления дипломных и курсовых проектов (работ): СТП УГТУ - УПИ 1 - 96. Екатеринбург, 1996.
2. Акулич И.Л. Математическое программирование в примерах и задачах / И.Л. Акулич. М.: Высшая школа, 1993.335 с.
3. Аттетков А.В. Методы оптимизации / А.В. Аттетков, С.В. Галкин,
4. В.С. Зарубин. М.: МГТУ, 2004.432 с.
5. Васильев В.П. Численные методы решения экстремальных задач / В.П. Васильев. М.: Наука, 1980.518 с.
6. Габасов Р. Методы оптимизации / Р. Габасов, Ф.М. Кириллова. Минск: БГУ, 1981.350 с.
7. Дьяконов В. Matlab: учебный курс / В. Дьяконов. СПб.: Питер, 2001.560 с.
8. Еремин И.И. / И.И. Еремин, Н.Н. Астафьев. М.: Наука, 1976.192 с.
9. Пантелеев А.В. Методы оптимизации в примерах и задачах /
10. А.В. Пантелеев, Т.А. Летова. М.: Высшая школа, 2005.544 с.
11. МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ: методические указания к лабораторным работам / сост. С.Д. Чернина. Екатеринбург: УГТУ-УПИ, 2007.36 с.
Приложение
Рекомендации по использованию EXCEL и MATLAB
Для построения графика функции y=f (x1,x2) могут быть использованы следующие инструменты:
1. В EXCEL- Мастер диаграмм, подтип Поверхность.
а. Используя автозаполнение, на листе EXCEL в столбец А и первую строку с выбранным шагом ввести соответственно значения переменных x1 и x2, для которых будут вычисляться значения функции.
б. В ячейку В2 ввести выражение для вычисления функции f (x1,x2) в точках $A2, B$1 (знак $ - признак абсолютной адресации, при которой будут зафиксированы первый столбец - перебор значений переменной x1 и первая строка - перебор значений переменной x2) и нажать одновременно три клавиши Ctrl, Shift, Enter, поскольку формула используется для обработки массивов. В строке формул должны появиться фигурные скобки.
в. Выделить ячейку В2 и, протянув маркер заполнения сначала вниз, пробегая все ячейки, заполненные в столбце А, а затем вправо, пробегая все ячейки, заполненные в строке 1, заполнить массив значений функции в узловых точках области построения графика.
г. На вкладке "Стандартные" Мастера диаграмм выбрать подтип Поверхность. Поверхностная диаграмма дает трехмерное изображение функции, а контурная диаграмма представляет вид сверху на поверхностную диаграмму и является аналогом линий уровня исследуемой функции.
2. В MATLAB- функции plot3, mesh, surf, surfl.
а. С помощью функции meshgrid получить двумерные массивы координат узловых точек области построения графика: u=a: ∆1: b; v=c: ∆2: d; [x,y] =meshgrid (u,v).
б. Задать исследуемую функцию: f= f (х, у).
в. Применяя указанные выше функции, получить трехмерное изображение: plot3 (x,y,f) или mesh (x,y,f), surf (x,y,f), surfl (x,y,f).
Для нахождения собственных значений и собственных векторов матрицы Гессе могут быть использованы следующие инструменты MATLAB:
λ = eig (a) - функция eig (a) возвращает собственные значения заданной матрицы a. Пример задания матрицы 4х4: a = [16 3 2 13; 5 10 11 8; 9 6 7 12; 4 15 14 1] ;
[v,d] = eig (a) - при таком обращении функция возвращает собственные векторы v и собственные значения как элементы диагональной матрицы d.
Для нахождения матрицы, обратной матрице Гессе, могут быть использованы следующие инструменты:
В EXCEL - функция МОБР возвращает обратную матрицу для матрицы, хранящейся в массиве.
В MATLAB - функция y=inv (a) возвращает обратную матрицу для матрицы a.
[1] Лабораторная работа выполнена студентом Коневым С.