. (2)
При а = 0 и λ = 1 нормальное распределение называют стандартным (нормированным) нормальным распределением (рис. 2), а кривую
– нормированной.
Стандартная нормальная случайная величина обозначается Z. Запишем по установленному правилу: Z~N (z; 0,12). Распределение φ(z) табулировано.Свойства функции φ(z):
а) функция φ(z) – четная, т.е.
φ(z) = φ(– z);
б) с увеличением z по абсолютной величине φ(z) монотонно убывает и при z → ∞ имеет пределом нуль;
в) при z = 4 φ(z) = 0,0001, при z = 5 φ(z) = 0,0000015, поэтому при |z | > 5 можно считать, что φ(z) = 0. В связи с этим таблицы ограничиваются значениями функции φ(z) для аргументов z = 4 или z = 5;
Рис. 2. График кривой стандартного нормального распределения
г) максимальное значение функция φ(z) принимает при z = 0.
Сравнивая (1) и (2), можно сделать вывод: плотность случайной величины, распределенной по нормальному закону, можно записать как:
W(x) =
. (3)Любая нормально распределенная случайная величина может быть преобразована в стандартную (нормированную) нормально распределенную случайную величину.
Итак, переход X в Z достигается преобразованием:
Z = (x – a)/λ. (4)
При помощи формулы (6.4) можно преобразовать любую нормально распределенную случайную величину X в стандартную нормально распределенную случайную величину Z. Обратное преобразование стандартной нормальной случайной величины Z в Х~N (Х; a; λ2) можно осуществить по формуле:
X = a+Z∙λ. (5)
Вероятность попадания в заданный интервал нормально распределенной случайной величины.
Мы знаем, что если случайная величина задана плотностью распределения W(x), то вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу (α, b), определяется из выражения
.Если случайная величина X ~ N (a; σ2), то
P(a<X<b) =
dx.Для того чтобы можно было пользоваться готовыми таблицами для вычисления вероятностей, преобразуем X в Z и найдем новые пределы интегрирования. Если х = a, то z=(a–а)/λ, если х=b, то z= (b – а)/λ. Тогда P (a< X<b) = 1/(λ
), 
где x = a + zλ; dx = λdz.
Интеграл вида
dt называется интегралом вероятностей, или функцией Лапласа. Его обычно обозначают символом F0(z): 
(6)Интеграл Лапласа в общем виде не берется. Его можно вычислить одним из способов приближенного вычисления интегралов. Эта функция табулирована. Пользуясь функцией Лапласа, окончательно получаем:
P (a<X <b) =
. (7)Формула (7) называется интегральной теоремой Лапласа.
Свойства F0(z):
а) функция F0(z) является нечетной функцией; т.е. F0(–z)= –F0(z);
б) при z = 0 функция Лапласа равна нулю
=0;в) при z®+∞F0(z)®0,5; при z® –∞ F0(z)® –0,5.
Рис. 4. График интегральной функции Лапласа–Гаусса
Ф0(4) = 0,499997, Ф0(–4) = –0,499997. Значит, при úzú> 4 можно считать, что Ф0(4) » ± 0,5. Итак, все возможные значения интегральной функции Лапласа принадлежат интервалу (–0,5; +0,5).
Итак, функция распределения случайной величины, подчиняющейся нормальному закону распределения, представленная через функцию Лапласа,
F(x) = 0,5+Фо[(x – a)/λ]. (8)
Рассмотрим ряд примеров на вычисление вероятностей при помощи таблиц стандартного нормального распределения и нахождение значений Z по заданной вероятности.
Правило «трех сигм»
Если обозначить (x–a)/σ = Z, Δ = (x – a) = σZ, то
P (|X – a| < z) = 2Ф0(z), (9)
где 2Ф0(z) – вероятность того, что отклонение случайной величины от ее математического ожидания М(Х)= а по абсолютной величине будет меньше z сигм. Придадим z значения 1; 2; 3. Пользуясь формулой (9) и таблицей интеграла вероятностей, вычислим вероятность того, что отклонение по абсолютной величине будет меньше σ, 2σ и Зσ:
при z =1, Δ = σ и P (|X–a|<σ) = 2Ф0(1) = 0,6826;
при z =1, Δ =2σ и P (|X–a|<2σ) = 2Ф0(2) = 0,9544
при z =1, Δ =3σ и P (|X–a|< 3σ) = 2Ф0(3) = 0,9973.
Приведенные результаты вычислений представлены на рис. 5.
Вероятность того, что случайная величина попадет в интервал (а – σ; а + σ), равна 0,6826. Геометрически эту вероятность можно представить заштрихованной частью площади под кривой, изображенной на рис. 8. Вероятность того, что случайная величина попадет в интервал (а – 2σ; а +2σ), равна 0,9544. Вероятность того, что случайная величина попадет в интервал (а – 3σ; а +3), равна 0,9973 (на рис. 8 эта вероятность представлена почти всей площадью, заключенной между кривой распределения и осью абсцисс).
Рис. 5. К правилу «трех сигм»
Следовательно, вероятность того, что отклонение случайной величины от своего математического ожидания по абсолютной величине превысит утроенное среднее квадратическое отклонение, очень мала и равна 0,0027. Такие события считаются практически невозможными.
В этом и состоит правило «трех сигм»: если случайная величина распределена по нормальному закону, то ее отклонение от математического ожидания практически не превышает±3σ.
Понятие о теоремах, относящихся к группе «центральной предельной теоремы»
В теоремах этой группы выясняются условия, при которых возникает нормальное распределение. Общим для этих теорем является следующее обстоятельство: закон распределения суммы достаточно большого числа независимых случайных величин при некоторых условиях неограниченно приближается к нормальному. Познакомимся с содержанием (без доказательства) с одной из таких теорем.
Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых (П. Леви). Если независимые случайные величины Х1, Х2,… Хn, имеют один и тот же закон распределения с математическим ожиданием а и дисперсией σ2, то при неограниченном увеличении n закон распределения суммы Х1 + Х2 + … + Хn неограниченно приближается к нормальному.
Теорема Ляпунова. Если случайная величина Y представляет собой сумму большого числа независимых случайных величин Y1, Y2,… Yn, влияние каждой из которых на всю сумму равномерно мало, то величина Y имеет распределение, близкое к нормальному, и тем ближе, чем больше п.
При этом ценно то, что законы распределения суммируемых случайных величин могут быть любыми, заранее не известными исследователю. Практически данной теоремой можно пользоваться и тогда, когда речь идет о сумме сравнительно небольшого числа случайных величин. Опыт показывает, что при числе слагаемых около 10 закон распределения суммы близок к нормальному.
Теорема Ляпунова имеет важное практическое значение, поскольку многие случайные величины можно рассматривать как сумму отдельных независимых слагаемых. Например: ошибки различных измерений; отклонения размеров деталей, изготовляемых при неизменном технологическом режиме; распределение числа продаж некоторого товара, объемов прибыли от реализации однородного товара различными производителями; валютные курсы; рост, вес животных и растений данного вида; отклонение точки падения снаряда от цели и т.д. могут рассматриваться как суммарный результат большого числа слагаемых и потому приближенно следовать нормальному закону распределения.
Показательное (экспоненциальное) распределение
Экспоненциальное (показательное) распределение тесно связано с распределением Пуассона, которое используется для вычисления вероятности появления события в некоторый период времени. Распределение Пуассона – это распределение числа появления событий в заданный интервал времени длиной t. Единственный параметр распределения Пуассона λ характеризует интенсивность процесса, т.е. с его помощью мы можем вычислить среднее число появления события.
Закон равномерного распределения (равномерной плотности)
Если возможные значения непрерывной случайной величины принадлежат определенному интервалу, а плотность ее распределения на этом интервале остается постоянной, то говорят, что данная случайная величина распределена по закону равномерной плотности.
В равномерном распределении вероятность того, что случайная величина будет принимать значения внутри заданного интервала, пропорциональна длине этого интервала.
Пусть непрерывная случайная величина X распределена на интервале (α, β) с равномерной плотностью. Ее плотность W(х) на этом участке постоянна и равна C. Вне этого интервала она равна нулю, так как случайная величина X за пределами интервала (α, β) значений не имеет (рис. 6).
. (2)
– нормированной.