Представление функции рядом Фурье (стр. 2 из 6)

Дадим теперь отчет в том, какова логическая ценность проведенных рассуждений. Мы исходили из того, что тригонометрический ряд (4) имеет место, поэтому вопрос о том, отвечает ли это действительности, остается открытым. Мы пользовались повторно почленным интегрированием ряда, а эта операция не всегда дозволительна, достаточным условием для применения операции является равномерная сходимость ряда. Поэтому строго установленным условием можно считать лишь следующее:

если функция f(x) разлагается в равномерно сходящийся тригонометрический ряд (4), то этот ряд будет являться ее рядом Фурье.

Если же не предполагать наперед равномерности сходимости, то все приведенные выше соображения не доказывают даже того, что функция может разлагаться только в ряд Фурье. Эти рассуждения можно рассматривать лишь как наведение, достаточное для того, чтобы в поисках тригонометрического разложения данной функции начать ее с ряда Фурье, обязуясь установить условия, при которых он сходится и притом именно к данной функции.

Пока этого не сделано, мы имеем право лишь формально рассматривать ряд Фурье данной функции, но не можем о нем ничего утверждать, кроме того, что он «порожден» функцией f(x). Эту связь обычно обозначают так:

избегая знака равенства.

Ортогональные системы функций

Две функции

и определенные на промежутке называются ортогональными на этом промежутке, если интеграл от их произведения равен нулю:

Рассмотрим систему функций

, определенных в промежутке [a, b] и непрерывных или кусочно-непрерывных. Если все функции данной системы попарно ортогональны, то есть

то ее называют ортогональной системой функций. При этом всегда будем полагать, что

Если

, то система называется нормальной. Если же это условие не выполняется, то можно перейти к системе , которая уже заведомо будет нормальной.

Важнейшим примером ортогональной системы функций как раз и является тригонометрическая система

(10)

в промежутке

, которую мы рассматривали ранее. Ее ортогональность следует из соотношений (5), (7), (8). Однако она не будет нормальной ввиду (9). Умножая тригонометрические функции (10) на надлежащие множители, легко получить нормальную систему:

(10*)

Пусть в промежутке

дана какая-нибудь ортогональная система функций . Зададимся целью разложить определенную в функцию в «ряд по функциям » вида:

(11)

Для определения коэффициентов данного разложения поступим так же, как мы это сделали в предыдущем параграфе, а именно умножим обе части равенства на

и проинтегрируем его почленно:

В силу ортогональности системы, все интегралы справа, кроме одного, будут равны нулю, и легко получается:

(m=0, 1, 2, …) (12)

Ряд (11) с коэффициентами, составленными по формулам (12), называется обобщенным рядом Фурье данной функции, а сами коэффициенты—ее обобщенными коэффициентами Фурье относительно системы

. В случаи нормальной системы функций коэффициенты будут определяться следующим образом:

В данном случаи все замечания сделанные в предыдущем параграфе необходимо повторить. Обобщенный ряд Фурье, построенный для функции

, связан с ней лишь формально и в общем случае эту связь обозначают следующим образом:

Сходимость этого ряда, как и в случае тригонометрического ряда, подлежит еще исследованию.

Интеграл Дирихле Принцип локализации

Пусть

будет непрерывная или кусочно-непрерывная функция с периодом . Вычислим постоянные (ее коэффициенты Фурье):

и по ним составим ряд Фурье нашей функции

Как видим, здесь коэффициент

мы определили по общей формуле для при , но зато свободный член ряда запишем в виде .

Если функция F(x) кусочно-непрерывна в любом конечном промежутке и к тому же имеет период

, то величина интеграла

по прежнему промежутку длины

не зависит от .

Действительно, имеем

Если в последнем интеграла сделать подстановку

, то он приведется к интегралу

и лишь знаком будет отличаться от первого интеграла. Таким образом, рассматриваемый интеграл оказывается равным интегралу

уже не содержащему

.

Для того чтобы исследовать поведение ряда в какой-нибудь определенной точке

, составим удобное выражение для его частичной суммы

Подставим вместо

и их интегральные выражения и подведем постоянные числа под знак интеграла:

Легко проверить тождество

Воспользуемся этим тождеством для преобразования подынтегрального выражения, окончательно получим

(13)

Этот интеграл называют интегралом Дирихле, хотя у Фурье он встречается гораздо раньше.

Так как мы имеем дело с функцией от u периода

, то промежуток интегрирования по сделанному выше замечанию можно заменить, например, промежутком

Подстановкой

преобразуем этот интеграл к виду