Теория вероятности (стр. 2 из 3)

Первое слагаемое этой суммы:

.

Второе слагаемое этой суммы:

.

И третье слагаемое этой суммы:

.

Отсюда искомая вероятность:

.

3) Вероятность того, что студент знает только один вопрос из трёх равна разности единицы и вероятности того что он не знает ни одного вопроса:

.

Ответ: 1)

, 2) , 3) .

Задача 12

В первой урне 6 белых шаров и 11 – черных, во второй – 5 белых и 2 – черных. Из первой урны переложили во вторую один шар , затем из второй урны извлекли один шар. Найти вероятность того, что взятый из второй урны шар оказался: 1) белым, 2) чёрным.

Решение

1) Вероятность того, что наугад взятый из первой урны шар и переложенный во вторую окажется белым:

.

Если шар, переложенный из первой урны во вторую, оказался белым, то белых шаров во второй урне станет шесть. Тогда, вероятность того, что взятый из второй урны шар окажется белым:

А вероятность обоих этих событий равна произведению этих вероятностей:

.

Вероятность того, что наугад взятый из первой урны шар и переложенный во вторую окажется чёрным:

.

Если шар, переложенный из первой урны во вторую, оказался чёрным, то чёрных шаров во второй урне станет три.

Тогда, вероятность того, что взятый из второй урны шар окажется чёрным:

.

А вероятность обоих этих событий равна произведению этих вероятностей:

.

Ответ: 1)

, 2) .

Задача 13

В первой урне 6 белых и 11 – черных шаров, во второй – 5 белых и 2 – черных, в третьей 7 белых шаров. Произвольно выбирают урну и из неё наугад вынимают шар. Найти вероятность того, что вынутый шар оказался:

1) белым, 2) чёрным.

Решение

1) Вероятность выбора одной из трёх урн равна ¹/₃.

Вероятность вынуть белый шар из первой урны:

Значит, вероятность выбрать первую урну и вытащить из неё белый шар:

.

Аналогично, вероятность выбрать вторую урну и вытащить из неё белый шар:

.

Вероятность выбрать третью урну и вытащить из неё белый шар:

,

так как в третьей урне все шары – белые.

Вероятность вытащить белый шар из наугад выбранной урны равна сумме этих вероятностей:

.

Вероятность выбрать первую урну и вытащить из неё чёрный шар:

.

Аналогично, вероятность выбрать вторую урну и вытащить из неё чёрный шар:

.

Вероятность выбрать третью урну и вытащить из неё чёрный шар:

,

так как в третьей урне все шары – белые.

Вероятность вытащить чёрный шар из наугад выбранной урны равна сумме этих вероятностей:

Ответ: 1)

, 2) .

Задача 14

В одной из трёх урн 6 белых и 11 – черных шаров, во второй – 5 белых и 2 – черных, в третьей 7 белых шаров. Наугад выбирают из трёх урн и из неё снова наугад выбирают один шар. Он оказался белым. Какова вероятность того, что: 1) шар вынут из первой урны, 2) шар вынут из второй урны, 3) шар вынут из третьей урны ?

Решение

Для решения данной задачи применим формулу Бейеса, суть которой в следующем: если до опыта вероятности гипотез Н₁, Н₂, … Н_n были равны Р(Н₁), Р(Н₂), …, Р(Н_n), а в результате произошло событие А, то новые (условные) вероятности гипотез вычисляются по формуле:

Где Р(Н_i) – вероятность гипотезыН_i,Р(А|Н_i) – условная вероятность события А при этой гипотезе.

Обозначим гипотезы:

Н₁ – выбор первой урны, Н₂ – выбор второй урны, Н₃ – выбор третьей урны.

До начала действий все эти гипотезы равновероятны:

.

После выбора оказалось, что вытащен белый шар. Найдем условные вероятности:

;

;

.

1) По формуле Бейеса апостериорная (после опыта) вероятность того, что шар был вынут из первой урны, равна:

.

2) Аналогично, вероятность того, что шар был вынут из второй урны, равна:

.

3) Аналогично, вероятность того, что шар был вынут из третьей урны, равна:

.

Ответ:

1)

,

2)

,

3)

.

Задача 15

Из 24 студентов, которые пришли на экзамен по математике, 6 подготовлены отлично, 11 – хорошо, 5 – посредственно, 2 – плохо. В экзаменационных билетах 20 вопросов. Отлично подготовленный студент может ответить на все 20 вопросов, хорошо подготовленный – на 16, посредственно – на 10, плохо – на 5 вопросов. Вызванный наугад студент ответил на все три произвольно заданных вопроса. Найти вероятность того, что этот студент подготовлен: 1) отлично, 2) плохо.

Решение

Для решения данной задачи применим формулу Бейеса:

Где Р(Н_i) – вероятность гипотезыН_i,

Р(А|Н_i) – условная вероятность события А при этой гипотезе.

Обозначим гипотезы:

Н₁ – студент подготовлен отлично, Н₂ – студент подготовлен хорошо,

Н₃ – студент подготовлен посредственно, Н₄ – студент подготовлен плохо.

До начала экзамена априорные вероятности этих гипотез:

, , ,

.

После экзаменационной проверки одного из студентов оказалось, что он ответил на все три вопроса. Найдем условные вероятности, то есть вероятности ответить на все три вопроса студентом из каждой группы успеваемости:

, ,

, .

1) По формуле Бейеса апостериорная (после экзамена) вероятность того, что вызванный студент был подготовлен отлично, равна:

.

2) Аналогично, вероятность того, что вызванный студент был подготовлен плохо, равна:

.

Ответ:

1) Вероятность того, что вызванный студент был подготовлен отлично:

,

2) Вероятность того, что вызванный студент был подготовлен плохо:

,

Задача 16

Монета подбрасывается 11 раз. Найти вероятность того, что герб выпадет: 1) 2 раза, 2) не более 2-х раз, 3) не менее одного и не более 2-х раз.