Геометрические построения на плоскости (стр. 4 из 7)

Мы уже знаем, как cтроить выражения

, , , , х = а ± в,(а - в, при а >

в). К рассмотренным построениям можно свести построение более сложных формул:

1)

, n = натуральное число; делается так:

, причем , если n = p·q,

, если n = p² ± q²;

2)

3)

· и т.д.

Все построенные выше формулы обладают одним общим cвойcтвом: они являютcя однородными выражениями первой степени. Напоминаем, выражение F(а,…,с) называют однородным степени 11, если

F(ta,…,tc) = tⁿ · F (a,…,c).

Пользуясь понятием однородной функции, мо;но выделить некоторые, классы алгебраичеcких выражений, которые могут быть построены циркулем и линейкой. Например, циркулем и линейкой можно построить:

1) Oтрезок, заданный формулой

,

где P_n+1 (…) и P_n(a,b,…,c) - однородные многочлены с рациональными коэффициентами от длин а,в,…,с отрезков

степени соответственно n+1 и n.

Пусть

P_n+1 =

Далее, пусть

- произвольный отрезок, d - его длина (в той же единице измерения).

Разделим чиcлитель на dⁿ , знаменатель – на d^n-1 .

Выражение

представляет сумму одночленов вида .

Следовательно, можно построить каждое слагаемое, а потому и весь числитель:

. Аналогично, . Наконец строим - отрезок длины х, где ;

2) отрезок, заданный формулой

, где – ( (…) – однородная рациональная функция 2 степени с рациональными коэффициентами. Делается так: , где (R₂(…) - отношение двух однородных многочленов , тогда как и выше, строим

3) Замечание. При вычерчивании кривых иногда приходится строить алгебраические выражения, не являющиеся однородными первой степени. Пусть надо построить отрезок

, длина которого x = f(a,b,…,c), где f(…) не является однородной первой cтепени, например, y = x³ +1.

Правило: построение произвольного выражения от n аргументов всегда можно свести к построению некоторого однородного выражения первой степени от n+1 аргументов. Достигается это выбором единицы измерения.

Выберем некоторый отрезок

в качестве единичного, e =1.

-однородная функция первой степени.

Если сумеем построить отрезок

по этой формуле, то он и будет искомым при выбранной, единице масштаба. Ясно, что получим различные неравные отрезки в зависимости от выбора .

Примеры:

1)

2)

3)

4)

5)

Разрешимость задач на построение с помощью циркуля и линейки.

Для краткости операции «+», «-», «·», «:» и извлечение арифметического квадратного корня» назовем основными действиями.

Теорема. Отрезок, длина которого задается положительной функцией для данных отрезков, может быть построен циркулем и линейкой тогда и только тогда, когда длина искомого отрезка выражается через длины данных отрезков при помощи конечного числа основных действий.

Достаточность. С помощью циркуля и линейки можно построить отрезок

, длина которого x равна соответственно:

а+в

а-в

ав (за счет

, е = 1)

(- « -)

Так, как по условию длина искомого отрезка выражается через длины данных отрезков с помощью конечного числа основных действий, то остается единственный возможный случай, когда промежуточный отрезок не сможем построить - это построение разности а-в при а < в.

В таких случаях перейдем к положительной разности с помощью тождества а - в = - (в - а).

Теперь можно последовательно выполнить все построения, соответствующие основным операциям, и через конечное число шагов получим искомый отрезок.

Необходимость. Ясно, что построение отрезка

равносилъно построению его концов. Так как можно построить, то существует конечная последовательность основных построений, в результате выполнения которых на каком-то m -м шаге будет построен один конец (обозначим его через А ), а на к -ом - другой конец (точку в ). На плоскости построим прямоугольную декартовую систему координат.

Пусть А (

,β), В (γ, δ) - координаты построенных точек. Данные отрезки построим на положительной полуоси ОХ, тогда длины этих отрезков выражаются числами а₁,…,а_р ς (А, В) = х = т.е. длина отрезка выражается через числа , β, γ, δ с помощью конечного числа основных действий. Если докажем, что сами числа , β, γ, δ выражаются через а₁,…,а_р с помощью конечного числа основных действий, то теорема будет доказана (длина отрезка выражается с помощью конечного числа основных действий).

Заметим, что любые построенные точки в ходе построения появляются двояко: либо выбираемые произвольно, либо как общие точки двух ранее построенных линий.

В первом случае выберем только такие точки, координаты которых выражаются через а₁,…,а_р при помощи конечного числа основных действий.

Во втором случае точка получается одним из следующих способов:

а) пересечение прямых (причем каждая прямая проведена через 2 построенные точки):

б) пересечение окружности и прямой (окружность построена через 2 построенные точки);

в) пересечение двух окружностей.

Рассмотрим случай а). Пусть прямая l₁ проведена через точки

C1 (x₁,y₁) и D₁ (x₂,y_2.). Покажем, что числа х₁, у₁, х₂ и у₂ могут быть выражены через а₁,…,а_р с помощью конечного числа основных действий (К4ОД). Действительно, пусть уравнение прямой l₁ имеет вид:

в₁х + с₁у = d₁