Геометрические построения на плоскости (стр. 5 из 7)

Легко убедиться, что чиcла в₁,с_1,d₁ выражаются через х_1, х_2, у_1, у₂ с помощью конечного числа основных действий. То же самое имеет место относительно коэффициентов прямой l₂ : в₂х + с₂у + d₂=0.

Точка пересечения (x₀, y₀) еcть решение cиcтемы

причем решение выражается через в₁, с₁,…, d₁ с помощью КrОД

В cлучае б) (х₀, у₀).- точка пересечения - есть решение системы

Числа х₀,у₀ выражаются через в,с, d, х₁, х_2,Rc помощью КrОД.

В случае в) точка пересечения (х₀,у₀) является решением системы

Легко убедиться, что решение выражается с помощью КrОД через координаты ранее построенных точек.

Итак, координаты вновь построенных точек получаются через координаты ранее построенных с помощью конечного числа основных действий. Но, к ранее построенным точкам применимы точно такие же рассуждения. В конечном счете (из-за конечности числа построений циркулем и линейкой) получим, что координаты А и В выражаются через а₁,…,а_р с помощью КrОД.

Следствие. Если даны: отрезок, принимаемый за единичный, и число а, то отрезок длины а может быть построен циркулем и линейкой тогда и только тогда, когда число а может быть получено из «I» посредством лишь конечного числа основных действий.

О задачах, не разрешимых циркулем и линейкой.

Большой интерес представляют такие задачи на построения, когда фигура, удовлетворяющая всем условиям задачи, заведомо существует, но не может быть построена указанными инструментами. Такого рода "доказательства невозможности" даже простых по формулировке задач на построение часто оказываются связанными с наиболее трудными вопросами алгебры, анализа.

Познакомимся с некоторыми классическими задачами на построение, решения которых не могут быть найдены о помощью циркуля и линейки.

1. Задача о квадратуре круга (пользовалась исключительной известностью с древнейших времен).

Построить циркулем и линейкой квадрат, площадь которого бала бы равна площади круга данного радиуса.

Пусть

- радиус круга, , т.е. площадь крута равна площади квадратасо стороной Иначе говоря, x является средней пропорциональной и .

Если бы можно было построить

, то легко можно было строить искомый квадрат.

Итак, задача о квадратуре круга свелась к задаче о опрямлении окружности, т.е. построению отрезка длины

. При эта длина равна .

Ламберт И. (швейцарский математик) доказал, что π - иррациональное число. Но вопрос о возможности спрямления окружности остался открытым, так как согласно следствию из предыдущей теоремы отрезок длины а (при выбранном единичном отрезке) может быть построен циркулем и линейкой, если а получается из I с помощью конечного числа основных действий. Такие числа являются алгебраическими, т.е. служат корнями многочленов с рациональными коэффициентами. Числа, не являющиеся алгебраическими, называются трансцендентными.

В 1882 г. Линдеманн Ф. доказал, что π является трансцендентным числом. Следовательно, проблема о квадратуре крута разрешена, задача о квадратуре крута не разрешима о помощью циркуля и линейки.

2. Задачу удвоения куба: зная ребро куба, построить ребро куба, объем которого был бы вдвое больше объема данного.

Пусть а - длина ребра данного куба, x - искомого. Имеем: х₂ = 2а³. Если а = 1, то получим уравнение х³ – 2 = 0. Это уравнение не имеет рациональных корней (т.к. рациональные корни этого уравнения обязательно целые, их надо искать среди делителей свободного члена). Из алгебры известно: если уравнение

рациональные числа) не имеет рационального корня, то ни один корень этого уравнения не может быть выражен через I лишь с помощью конечного числа основных действий. Тогда, учитывая указанное выше следствие, получим, что отрезок длины x не может быть построен с помощью циркуля и линейки.

Замечание. Эта задача может быть решена с привлечением двух прямых углов.

3. Задача о трисекции угла: построить угол, в 3 раза меньший данного.

Достаточно рассмотреть эту задачу для острых углов, т.к. при тупом

угол является острым и третья часть равна Отсюда следует, что

Итак, пусть α - данный острый угол, φ - искомый,

Если отрезок длины x можно построить циркулем и линейкой, то из прямоугольника следует, что можно построить и сам угол φ. Следовательно, задача свелась к построению отрезка длины х, где x - один из корней уравнения (I).

Пусть α = 60º, тогда в = 1. Уравнение (I) приводится к виду:

Легко убедиться (из тех же соображений, что и выше), что у этого уравнения нет рациональных корней, следовательно нет ни одного корня, который выражался бы через I с помощью конечного числа основных действий.

Следовательно, задача о трисекции угла не разрешима циркулем и линейкой в общем виде.

Но, может быть, она никогда не разрешима? Это не так. Пусть α = 90°. Тогда уравнение (I) имеет вид: x³ - зх = 0,

Отрезок можно построить, следовательно, задача в этом случае разрешима.

нетрудно построить и угол φ.

Можно чисто геометрически построить угол в 60° (хорда равна радиусу, см.рис.).

Замечание 1. Существуют приборы-трисекторы, позволяющие делить угол на три равные части.

АВСD и AB₁C₁D₁ - ромбы, φ =

.

Замечание 2. Задачу о трисекции угла легко решить циркулем. Строим последовательно: 1) окружность ω

расстояние между отметками на линейке;

2) точку А;

3) прямую, проходящую через А так, чтобы расстояние между второй точкой пересечения с окружностью и точкой пересечения этой прямой с прямой ОN было равно

.

Построение правильных многоугольников циркулем и линейкой.

Решение проблемы связано большими трудностями, и решена она полностью великим немецким математиком Гауссом в 1796 году.

Вопрос построения правильного n -угольника равносилен вопросу о возможности деления окружности на n равных частей. Возьмем окружноcть радиуcа

и прямоугольную систему координат. Задача деления

окружности на n равных частей состоит в построении точек

т.е, в построении корней уравнения Zⁿ– 1= 0 о тличных – от Z₀ = 1. Это равносильно построению корней уравнения

Это уравнение называется уравнением деления окружности.

Гаусс доказал следующую замечательную теорему.

Теорема. Построение правильного n - угольника с помощью циркуля и линейки возможно тогда и только тогда, когда

(числа Ферма).

Рассмотрим несколько частных случаев:

уравнение деления окружности.Пусть , (если построено, то также можно построить