Геометрические построения на плоскости (стр. 7 из 7)

e) Геометрическим местом точек, из которых отрезок АВ виден под данным углом а, является дуга окружности, стягиваемая* отрезком АВ (построение ясно из фиг. 4).

Фиг. 4 Фиг. 5

f) Геометрическое место точек, расстояния которых от двух данных точек находятся в данном отношении m : n, есть некоторая, окружность (фиг. 5)

При этом

Откуда по известной теореме получается , что < APP₁ = < P₁PB.

Имеет место также пропорция

AP₁:P₁B = AP₂:BP₂

Четыре такие точки называются, как известно, четырьмя гармоническими точками.

g) Геометрическое место точек, расстояния которых от двух данных прямых находятся в данном отношении m : n, образуется двумя прямыми линиями х и у, проходящими через точку пересечения данных прямых (фиг. б).

h) Геометрическое место точек, квадраты расстояний которых от двух данных точек А и В сохраняют постоянную разность d², есть прямая, перпендикулярная к отрезку АВ.

Фиг. 6 Фиг.7

Доказательство: Пусть точка Р₁ (фиг. 7) обладает указанным свойством, так что

Если опустить из точки P₁ на АВ перпендикуляр и взять на нем произвольную точку Р₁ то

Из h) может быть выведено следствие, которое позже для нас будет важно. Мы лишь предпошлем ему краткое замечание:

а) Как известно, справедливо следующее предложение: „Если через точку Р (фиг. 8а, 8_Ь) провести секущие к окружности, то постоянно

РА .РА' = РВ.РВ' = ... "

Эго постоянное произведение называется степенью точки Р в отношении данной окружности; степень равна d² — r², где d есть расстояние точки Р от центра (центральное расстояние точки Р), r есть радиус окружности.

Фиг. 8а Фиг. 8б

Если точка Р лежит вне окружности, то степень точки также равна РТ².

β) Если даны две окружности с центрами О₁ и О₂, то точка Р имеет определенную степень по отношению к каждой из них. Если же точка Р по отношению к обеим окружностям (с радиусами r₁ и r₂) имеет одну и ту же степень, то

так что

следовательно, геометрическое место точек, имеющих одну и ту же степень в отношении обеих окружностей, есть (согласно h) прямая, перпендикулярная к линии центров этих окружностей; прямая мл называется радикальной осью обеих окружностей.

Если окружности пересекаются, то их радикальная ось проходит через точки их пересечения, ибо каждая из точек пересечения имеет в отношении обеих окружностей степень, равную нулю.

Если же окружности не пересекаются, то радикальную ось можно построить (фиг. 9), опустив перпендикуляр на линию центров из середины общей касательной к обеим окружностям; можно при этом следовать и другому пути, пользуясь теоремой: „Если даны на плоскости три окружности, то определяемые ими три радикальные оси проходят через одну и ту же точку (радикальный центр трех окружностей)"; доказательство теоремы основывается на том соображении, что точка пересечения двух каких-либо радикальных осей имеет одну и ту же степень в отношении всех трех окружностей, следовательно, лежит на третьей радикальной оси.

Фиг. 9

3. Мы разъясним метод геометрических мест на двух примерах:

а) Даны две окружности О₁, О₂ радиусов r₁ и r₂.

Требуется построить такую окружность К₁ которая касалась бы обеих данных окружностей и имела бы данный радиус r.

Если откинуть требование, чтобы окружность К касалась окружности О₂, то искомых окружностей существует бесчисленное множество; геометрическое место их центров состоит из двух концентрических с О₁ окружностей, радиусы которых соответственно равны r₁ + r и r₁ — r. Аналогично мы получим для искомого центра X и другое геометрическое место, состоящее из двух окружностей, описанных из точки О₂, как из центра, радиусами

Точка X должна совпасть с одной из точек пересечения обоих геометрических мест; существует не больше восьми точек, удовлетворяющих требованиям задачи.

β) Даны три окружности K₁, К₂, К₃; требуется построить все окружности, касающиеся трех данных (Аполлониева задача о касании).

Если (фиг. 10) через центр одной из данных трех окружностей, например, через центр окружности /С3, провести окружность, концентрическую с искомой X, то окажется, что упомянутая выше задача сведется к следующей:

Даны две окружности К΄₁, К΄₂ и точка Р΄; требуется построить окружности, касающиеся двух данных и проходящие через точку Р΄΄.

Фиг. 10

Геометрическое место центров всех окружностей, которые касаются окружности К₁΄΄ и проходят через точку Р, есть эллипс или гипербола, в зависимости от того, лежит ли Р внутри окружности К΄₁ или вне ее.

Центр окружности К΄₁ и точка Р являются фокусами этих конических сечений; асимптоты гиперболы перпендикулярны к касательным, которые можно провести к окружности К΄₁ из точки Р.

Каждая из данных трех окружностей может свестись и к одной точке или перейти в прямую. Геометрическое место центров окружностей, которые касаются прямой l и проходят через точку Р, есть парабола, имеющая прямую l своей директрисой, а фокус — в точке Р.

Вариант 15

1. Построить треугольник ΔАВС по а, с-b,

2. Построить трапецию по отношению боковых сторон, углу между ними и двум основаниям.

3. Даны прямая МNи точки A и В в одной полуплоскости относительно прямой MN. Поcтроить на прямой МN точку X такую, что

.

4. Вписать в данный четырехугольник параллелограмм так, чтобы его центр совпал c данной точкой.

5. В данном круге через данную внутри его точку А провести хорду так, чтобы она в точке А разделилась в отношении m : n.

6. Построить треугольник с данным отношением сторон длин биссектрисы и медианы, проведенных из одной вершины.

7. Построить прямоугольной треугольник по радиусам описанной окружности R и вписанной окружности r.

8. На приведeнных ниже чертежах дано схематичное решение четырех задач на, построение. Сформулировать эти задачи и дать их полное решение.

1)	2)
3)	4)

9. Построить ромб, зная его сторону а и отношение диагоналей р : q, где pи q заданные отрeзки. Решить задачу двумя способами.

10. Рассматриваются всевозможные треугольники c данными основанием a, угол при вершине которых равен φ. Найти множество точек пересечения медиан