Базисные сплайны (стр. 2 из 4)

б)

.

Определение сплайна имеет смысл на всей вещественной оси ,если положить

При этом на полуоси

берется только формула (2), а на полуоси только формула (1).

Итак, сплайн

имеет непрерывные производные до порядка . Производные сплайна порядка выше , вообще говоря, терпят разрывы в точках . Для определенности будем считать, что функция , непрерывна справа, т. е.

Множество сплайнов, удовлетворяющих определению, обозначим через

Ясно, что этому множеству принадлежат и сплайны степени n дефекта и сплайны степени дефекта , если , в том числе многочлены степени не выше . Так как обычные операции сложения элементов из и их умножения на действительные числа не выводят за пределы множества, то оно является линейным множеством или линейным пространством.

Простейшим примером сплайна является единичная функция Хевисайда

с которой естественным образом связана усеченная степенная функция

Функции

являются сплайнами соответственно нулевой степени и степени дефекта 1 с единственным узлом в нулевой точке (рис. 1.1). Мы будем рассматривать также усеченные степенные функции , связанные с точками сетки . При они принадлежат множеству

Теорема 1.1. Функции

(3)

линейно независимы и образуют базис в пространстве

размерности

Доказательство: Предположим противное, т. е. что существуют постоянные

, не все равные нулю и такие, что

Тогда для

имеем и в силу линейной независимости функций находим Беря получаем и, по той же причине, Продолжая этот процесс, убеждаемся, что все Следовательно, функции (3) линейно независимы.

Пусть теперь задан сплайн

на отрезке он является многочленом степени , и может быть записан в виде (1) или (2). При этом, так как первые производных сплайна непрерывны в точках т. е.

Покажем, что сплайн

, на отрезке может быть представлен в виде

(4)

Где

Действительно, преобразуя это выражение при

получаем

Это доказывает, что всякий сплайн

может быть представлен в виде линейной комбинации функций (3), т. е. эти функции образуют базис в и представление (4) единственно. Эта формула называется представлением сплайна в виде суммы усеченных степенных функций. Итак, множество является конечномерным пространством размерности

§2. Базисные сплайны с конечными носителями

В математическом анализе встречаются конструкции, связанные с финитными функциями, т. е. гладкими функциями, которые определяются на всей действительной оси, но отличны от нуля лишь на некотором конечном интервале (носителе). Ниже мы исследуем финитные сплайны из пространства

. В последующем изложении они играют исключительно важную роль.

Расширим сетку

, добавив дополнительно точки (можно положить, например, ).

Возьмем функцию

и построим для нее разделенные разности порядка по значениям аргумента . В результате получаются функции переменной х:

Так как для разделенной разности

порядка от функции по точкам справедливо равенство

Если использовать тождество

то можно получить несколько иную форму записи этой функции

Из определения усеченных степенных функций следует, что функция

является сплайном степени п дефекта 1 на

сетке узлов

Лемма 1.1. Справедливо тождество

Доказательство. Если

то разделенная разность функции по точкам может быть вычислена по формуле Лейбница: