
Для разности

порядка путем рассуждений по индукции нетрудно получить

Представим функцию

в виде

и построим ее разделенную разность

порядка по формуле Лейбница. Получим

Отсюда, если учесть определение сплайнов

, следует тождество (4).
Лемма 1.2. Сплайны

обладают следующими свойствами:

Доказательство. Функция

равна нулю при

и является многочленом степени n от х при

. Поэтому ее разделенные разности

порядка по значениям аргумента

тождественно равны нулю при

и

т.е.

Внутри интервала

В самом деле, при n = 0 согласно (2)

. Пусть, далее, утверждение а) верно при

Тогда при
n=l в силу (4) на интервале

функция

является линейной комбинацией с положительными весами функций

причем по предположению в произвольной точке указанного интервала хотя бы одна из этих функций больше нуля. Следовательно,

для

, и утверждение а) установлено.
Докажем утверждение б). Всякую n+1 раз непрерывно дифференцируемую функцию g(t) на промежутке а ≤ t ≤ b можно представить формулой Тейлора с остаточным членом в интегральной форме:

Здесь под знаком интеграла вместо обычного сомножителя

стоит усеченная степенная функция, что позволяет заменить переменный верхний предел t постоянной величиной b. Из (7) следует разностное соотношение

то, полагая g(x) = xn+1, поручаем

Поскольку вне интервала (а, b), то это равенство -совпадает с (6) и лемма доказана.
Лемма 1.3. Функции

являются сплайнами степени п дефекта 1 с конечными носителями минимальной длины.
Доказательство. Предположим, что существует сплайн

отличный от нуля на интервале, меньшем, чем

Такой интервал, очевидно, не может иметь границей точку, не являющуюся узлом сетки

. Поэтому пусть это будет интервал (x
i , x
i+n).
Возьмем представление сплайна дефекта v = 1 через усеченные степенные функции (1.4). Вследствие того, что

при

в этом представлении

. Так как

при

то ее производные до порядка n — 1 равны нулю в точке x
i+n. Имеем

Последние равенства представляют собой однородную систему линейных уравнений для определения коэффициентов

. Ее определитель пропорционален определителю Вандермонда n-ro порядка, который отличен от нуля, и система имеет только нулевое решение. Наконец, из того же условия

следует, что

. Значит,

и лемма доказана.
Теорема 1.2. Функции

линейно независимы и образуют базис в пространстве сплайнов

Доказательство. Покажем сначала линейную независимость функций

на всей действительной оси. Предположим противное, т. е. что существуют такие постоянные

, не все равные нулю, что

Выбирая

получаем, что

и, значит,

. Беря затем

находим, что

и т.д., т.е.

Следовательно, функции

линейно независимы на

Предположим теперь, что соотношение (8) выполняется только на [а, b]. Это значит, что на отрезках

обращаются в нули сплайны вида

Каждый из них отличен от нуля самое большее на интервале

Поэтому из предположения

при x

согласно доказательству леммы 3 следует, что

0 на интервалах

, а значит, и на всей действительной оси. В силу линейной независимости функций

на

должно быть

и это для всех i = 0, ..,N-1.
Таким образом, функции

линейно независимы, и так как согласно теореме 1.1 размерность пространства

равна n+N, то они образуют базис в этом пространстве. Теорема доказана.
Функции

называются базисными сплайнами с конечными носителями минимальной длины (В-сплайнами). В силу теоремы 1.2 всякий сплайн

может быть единственным образом записан

где — некоторые постоянные коэффициенты. Эту запись сплайна называют его представлением через В-сплайны.