Базисные сплайны (стр. 4 из 4)
Из теоремы 1.2 вытекает
Следствие 1.1. Всякий сплайн
, принадлежащий 
, с конечным носителем минимальной длины с точностью до постоянного множителя совпадает с В-сплайном.Доказательство. Минимальным конечным носителем сплайна является один из интервалов
Согласно (9) 
Так как
для 
то, выбирая последовательно 
, получаем, что 
. Аналогично, 
для 
Следовательно, 
Замечание. Представление сплайнов через B-сплайпы в виде (9) имеет смысл для конечного отрезка [а, b]. Чтобы получить его для всей вещественней оси, нужно положить
и 
. Тогда точки 
оказываются узлами кратности 
и при построении B-сплайнов с номерами 
и 
нужно учитывать правило для разделенных разностей с кратными узлами. Мы не описываем подробно эти конструкции, ибо все практические задачи, где используются B-сплайны, рассматриваются на конечном отрезке. §3. Нормализованные базисные сплайны и представление ими многочленов
При практических вычислениях удобнее использовать не сами B-сплайны, а функции, получающиеся из них умножением на постоянные множители:
(1)Эти функции называются нормализованными В-сплайнами. Нормирующий множитель равен среднему арифметическому шагов
на отрезке, где B-сплайн отличен от нуля.Тождество (2.4) для нормализованных 5-сплайнов имеет вид
С его помощью легко можно построить последовательность сплайнов
Приведем первые четыре функции этой последовательности для случая равноудаленных узлов hi = h.Будем обозначать
Точка 
- это середина отрезка-носителя В-сплайна. Тогда имеем 
Эти В-сплайны изображены на рис. 1.3, а, б, в, г соответственно.
В § 1 было отмечено, что многочлены Рп(х) степени не выше n являются элементами пространства сплайнов
.Следовательно, они представимы через базисы этих пространств, в частности через базис из В-сплайнов в пространстве 
. Для вывода формул воспользуемся тождеством (2). После умножения обеих его частей на число и суммирования по индексу i получаем 
Лемма 1.4. Справедливо тождество
в предположении
Доказательство. В формуле (4) положим
Тогда получаем 
Подставляя
в (3), находим 
Повторяя это преобразование n раз, получим справа
Теперь разложим обе части тождества (5) по степеням t. При этом
Здесь
суть символы элементарных симметрических функций от n аргументов степени а. Это многочлены, состоящие из 
слагаемых. Они имеют вид 
Подставляя разложения (6) и (7) в (5) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях t, находим представления мономов
через нормализованные В-сплайны па отрезке 
В частности, при а = 0 получаем соотношение
которое для нормализованных 5-сплайпов играет ту же роль, что свойство (2.6) для самих 5-сплайнов.
Полученные формулы (8) решают вопрос о представлении произвольного многочлена п-й степени через нормализованные В-сплайны.
Заключение
В данной работе мы рассмотрели понятие сплайна и основные определения необходимые для работы с ним. Было изучено понятие базисного сплайна или B-сплайна, а так же уделено внимание его форме в виде нормализованного сплайна. Так же была создана программа для интерполяции сплайнов при помощи языка программирования высокого уровня C++.
Список литературы
1. Вержбицкий В.М. Основы численных методов – М.:Высш. шк., 2002.
2. Завьялов Ю.С., Квасов Б.И., Мирошниченко В.Л. Методы сплайн – функций - М.: Наука, 1980. 352 с
3. Бахвалов Н. С., Жидков Е. П., Кобельков Г. М. Численные методы. Учебное пособие. - 4-е издание – М.- СПб.: Физматлит, Невский диалект, Лаборатория базовых знаний, 2003
4. Препарата Ф., Шеймос М. Вычислительная геометрия. Введение. - Мир, 1989
5. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа - М.: Наука, 1976
Приложение
Листинг программы.
#include<conio.h>
#include<iostream>
using namespace std;
double KubichSplain ( int n, double *X, double *Y, double Xp )
{
double *Q, *L, *A, *B, *C, *D, DXp, Yp;
int i, j, k;
Q = new double [n];
L = new double [n];
A = new double [n];
B = new double [n];
C = new double [n];
D = new double [n];
for(i=0;i<n;i++)
if(Xp<=X[i])
{
k=i;
break;
}
Q[1] = (-1) * (X[2]-X[1])/2*(X[1]-X[0] + X[2]-X[1]);
L[1] = (3*(Y[2]-Y[1])/(X[2]-X[1]) - 3*(Y[1]-Y[0])/(X[1]-X[0])) / (2*(X[1]-X[0] + X[2]-X[1]));
C[n-1]=0;
C[0]=0;
for(i=3; i<n; i++)
{
Q[i-1]=(-1) * (X[i]-X[i-1]) / (2*(X[i-1]-X[i-2]+X[i]-X[i-1])+(X[i-1]-X[i-2])*Q[i-2]);
L[i-1]=(3*((Y[i]-Y[i-1])/(X[i]-X[i-1])-(Y[i-1]+Y[i-2])/
(X[i-1]-X[i-2]))-(X[i-1]-X[i-2])*L[i-2])/(2*(X[i-1]-X[i-2]+X[i]-X[i-1])+(X[i-1]-X[i-2])*Q[i-2]);
}
for(i=n-1; i>=2; i--)
C[i-1]=Q[i-1]*C[i]+L[i-1];
A[0]=Y[0];
for(i=1;i<n;i++)
{
A[i]=Y[i];
D[i]=(C[i]-C[i-1])/3.*(X[i]-X[i-1]);
B[i]=(Y[i]-Y[i-1])/(X[i]-X[i-1])+2.*(X[i]-X[i-1])*C[i]/3.+(X[i]-X[i-1])*C[i-1]/3.;
}
DXp=Xp-X[k];
//получение значения интерполирующей функции
Yp = A[k] + B[k]*DXp + C[k]*DXp*DXp + D[k]*DXp*DXp*DXp;
delete []A;
delete []B;
delete []C;
delete []D;
delete []Q;
delete []L;
return Yp;
}
void main ( void )
{
double *X, *Y, Xp;
int n, i;
system("CLS");
cout << "Enter n: ";
cin >> n;
X = new double [n];
Y = new double [n];
for ( i = 0; i < n; i ++ )
{
cout << "X[ " << i+1 << " ] = ";
cin >> X[i];
}
for ( i = 0; i < n; i ++ )
{
cout << "Y( " << X[i] << " ) = ";
cin >> Y[i];
}
cout << "Xp = ";
cin >> Xp;
cout << "Y( " << Xp << " ) = " << KubichSplain ( n, X, Y, Xp )<<"\n";
getch();
delete []X;
delete []Y;
}