Методы отсечения (стр. 1 из 6)

Министерство высшего и профессионального образования РФ

Тульский государственный университет

КАФЕДРА ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

к курсовому проекту по дисциплине

«ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ И ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ»

на тему:

«Методы отсечения»

Тула 2003 г.

Содержание

Введение

1. Постановка линейной целочисленной задачи

2. Теоретические основы методов отсечения

3. Первый алгоритм Гомори

4. Второй алгоритм Гомори

5. Алгоритм Дальтона и Ллевелина

6. Алгоритм Данцига

7. Некоторые выводы

Заключение

Список литературы

Приложение

Введение

Среди практически важных задач отыскания условного экстремума линейной функции важное место занимают задачи с требованием целочисленности всех (части) переменных. Они получили название задач целочисленного (частично целочисленного) программирования.

Исторически первой задачей целочисленного типа является опубликованная венгерским математиком Е. Эгервари в 1932 г. задача о назначении персонала.

Существуют различные методы решения таких задач, и заметное место среди них занимают методы отсечения. Рассмотрим в этой работе некоторые из методов отсечения, предварительно более подробно разобравшись с постановкой линейных целочисленных задач.

1. Постановка линейной целочисленной задачи

Среди совокупности п неделимых предметов, каждый i-и (i=1,2,…, п) из которых обладает по i-й характеристике показателем

и полезностью найти такой набор, который позволяет максимизировать эффективность использования ресурсов величины .

Математическая модель этой задачи может быть представлена следующим образом:

в области, определенной условиями

(1)

(2)

- целые, . (3)

найти решение

при котором максимизируется (минимизируется) значение целевой функции

(4)

Если

, то (1–4) является моделью задачи целочисленного программирования, если - моделью задачи частично целочисленного программирования.

Частным случаем задачи целочисленного программирования является задача с булевыми переменными. Ее математическая модель в общем виде записывается следующим образом:

в области, определенной условиями

(5)

(6)

найти решение

, при котором максимизируется (минимизируется) значение функции

(7)

К классу задач целочисленного программирования примыкают задачи, в которых условие целочисленности всех или части переменных заменено требованием дискретности. А именно, для каждой j-и переменной

заранее определен набор значений (не обязательно целых), которые она может принимать: где .

Предполагается, что

ранжированы, т.е.

. Математическая модель общей задачи дискретного программирования может быть представлена следующим образом:

в области, определенной условиями

(8)

(9)

найти решение

, при котором максимизируется (минимизируется) линейная функция

(10)

Условие (9) определило название этого класса; задач. Если

, то (8–10) называется задачей дискретного программирования; если , то (8–10) называется задачей частично дискретного программирования.

Нетрудно видеть, что условие (2–3) задачи (1–4) и условие (6) задачи (5–7) являются частным случаем условия (9) задачи (8–10). Действительно, (2–3) соответствует тому случаю, когда

для . Условие (9) соответствует случаю, когда .

Для задач целочисленного типа определено понятие допустимого и оптимального решения.

Вектор

, удовлетворяющий условиям (1–3) (соответственно (8–9)), называется допустимым решением задачи (1–4) (соответственно (8–10)). Допустимое решение, при котором функция (4) (соответственно (10)) достигает наибольшего (наименьшего) значения, называется оптимальным решением.

Определив понятие допустимого и оптимального решения, естественно поставить вопрос об их нахождении. Казалось бы, что естественный путь решения целочисленной задачи состоит в решении соответствующей линейной задачи с последующим округлением компонент ее оптимального плана до ближайших целых чисел. На самом деле такой путь в большинстве случаев не только уводит, от оптимума, но даже приводит иногда к недопустимому решению задачи.

ПРИМЕР. В области, определенной условиями

– целые

найти максимум функции

.

Решим задачу геометрически (рис. 1). Область поиска экстремума – многоугольник ODABC, но так как линия уровня целевой функции параллельна стороне АВ многоугольника, экстремум достигается в вершинах

и , а также в любой точке отрезка АВ, и равен 7.

(рис. 1)

Однако нас интересуют лишь точки с целочисленными координатами, следовательно, ни А, ни В не являются допустимым решением задачи. Округляя значение координат А, получим

Но точка А' не принадлежит области поиска. Можно показать, что целочисленный оптимум достигается в точках N (3; 2) и M (2; 3) и равен 5. Обе точки внутри области поиска.

Построенный нами пример показал, что для решения задач с требованием целочисленности необходимо рассмотреть особые методы оптимизации; и, кроме того, мы видим, что оптимальное решение задач целочисленного программирования не обязательно принадлежит границе многогранника (многоугольника) условий, что было характерно для задач линейного программирования.

2. Теоретические основы методов отсечения

Запишем общую задачу целочисленного программирования: в области, определенной условиями

(11)

(12)

- целые, (13)

максимизировать функцию

(14)

Назовем для кратности задачу (11–14) (£^ц, C) – задачей. Соответствующую ей задачу без требования целочисленности переменных, т.е. задачу (11, 12, 14) назовем (£, C) – задачей. Поставим вопрос: нельзя ли решение (£^ц, C) – задачи получить путем решения некоторой специальным образом построенной задачи без требования целочисленности переменных и такой, что оптимальные решения исходной (£^ц, C) – задачи и задачи без требований целочисленности переменных будут совпадать. Другими словами: нельзя ли хорошо изученный аппарат решения задач линейного программирования приспособить к решению целочисленных задач. Принципиальный ответ на этот вопрос дает следующая теорема.

Теорема. Пусть £ – многогранник, £^ц – множество его целых точек, R – выпуклая, линейная оболочка множества £^ц, тогда: