Теория остатков (стр. 10 из 10)
Подведем итог рассмотренных случаев в виде следующей теоремы
Теорема 1. Пусть (a,m)=d . Если b не делится на d , сравнение ax b(mod m) не имеет решений. Если b кратно d , сравнение ax b(mod m) имеет d штук решений.
Пример. Решить сравнение 111x 75(mod 321) .
Решение. (111,321)=3 , поэтому поделим сравнение и его модуль на 3:
37x 25(mod 107) и уже (37,107)=1 .
Включаем алгоритм Евклида (как обычно, подчеркнуты неполные частные):
107=37 2+33
37=33 1+4
33=4 8+1
4=1 4
Имеем n=4 и цепная дробь такова:
Таблица для нахождения числителей подходящих дробей:
| q n | 0 | 2 | 1 | 8 | 4 |
| P n | 1 | 2 | 3 | 26 | 107 |
Значит, x (-1) 3 26 25 -650(mod 107) -8(mod 107) 99(mod 107) .
Три решения исходного сравнения:
x 99(mod 321), x 206(mod 321), x 313(mod 321) ,
и других решений нет.
Теорема 2. Пусть m>1, (a,m)=1 Тогда сравнение ax b(mod m) имеет решение: x ba (m)-1 (mod m) .
Доказательство. По теореме Эйлера, имеем: a (m) 1(mod m) , следовательно, a ba (m)-1 b(mod m) .
Пример. Решить сравнение 7x 3(mod 10) . Вычисляем:
(10)=4; x 3 7 4-1 (mod 10) 1029(mod 10) 9(mod 10) .
Видно, что этот способ решения сравнений хорош (в смысле минимума интеллектуальных затрат на его осуществление), но может потребовать возведения числа а в довольно большую степень, что довольно трудоемко. Для того, чтобы как следует это прочувствовать, возведите самостоятельно число 24789 в степень 46728.
Теорема 3. Пусть р – простое число, 0<a<p . Тогда сравнение ax b(mod p) имеет решение:
где C a p – биномиальный коэффициент.
Доказательство непосредственно следует из очевидного сравнения
которое нужно почленно поделить на взаимно простое с модулем число 1 2 3 ... a-1 .
Пример. Решить сравнение 7x 2(mod 11) . Вычисляем:
На этом пункт 19 можно было бы и закончить, но невозможно, говоря о решении сравнений первой степени, обойти стороной вопрос о решении систем сравнений первой степени. Дело в том, что умение решать простейшие системы сравнений не только является неотъемлемой частью общечеловеческой культуры, позволяющей гражданину не падать в ямы, расщелины и открытые люки. Такое умение, кроме всего прочего, пригодится нам при изучении сравнений произвольной степени, о которых пойдет речь в следующих пунктах.
Лемма 1 (Китайская теорема об остатках). Пусть дана простейшая система сравнений первой степени:
где m 1 ,m 2 ,...,m k попарно взаимно просты. Пусть, далее, m 1 m 2 ...m k =M s m s ; M s M s 1(mod m s ) (Очевидно, что такое число M s всегда можно подобрать хотя бы с помощью алгоритма Евклида, т.к. (m s ,M s )=1 ); x 0 =M 1 M 1 b 1 +M 2 M 2 b 2 +...+M k M k b k . Тогда система (*) равносильна одному сравнению
x x 0 (mod m 1 m 2 ...m k ) ,
т.е. набор решений (*) совпадает с набором решений сравнения x x 0 (mod m 1 m 2 ...m k ) .
Доказательство. Имеем: m s делит M j , при s j. Следовательно, x 0 M s M s b s (mod m s ) , откуда x 0 b s (mod m s ) . Это означает, что система (*) равносильна системе
которая, очевидно, в свою очередь, равносильна одному сравнению x x 0 (mod m 1 m 2 ...m k ) .
В следующей лемме, для краткости формулировки, сохранены обозначения леммы 1.
Лемма 2. Если b 1 ,b 2 ,...,b k пробегают полные системы вычетов по модулям m 1 ,m 2 ,...,m k соответственно, то x 0 пробегает полную систему вычетов по модулю m 1 m 2 ...m k .
Доказательство. Действительно, x 0 =A 1 b 1 +A 2 b 2 +...+A k b k пробегает m 1 m 2 ...m k различных значений. Покажем, что все они попарно не сравнимы по модулю m 1 m 2 ...m k .
Ну пусть оказалось, что
A 1 b 1 +A 2 b 2 +...+A k b k A 1 b' 1 +A 2 b' 2 +...+A k b' k (mod m 1 m 2 ...m k )
Значит,
A 1 b 1 +A 2 b 2 +...+A k b k A 1 b' 1 +A 2 b' 2 +...+A k b' k (mod m s )
для каждого s , откуда
M s M s b s M s M s b' s
Вспомним теперь, что M s M s 1(mod m s ) , значит M s M s 1+m s t , откуда (M s M s ,m s )=1 . Разделив теперь обе части сравнения
M s M s b s M s M s b' s
на число M s M s , взаимно простое с модулем, получим, что b s b' s (mod m s ) , т.е. b s =b' s для каждого s .
Итак, x 0 пробегает m 1 m 2 ...m k различных значений, попарно не сравнимых по модулю m 1 m 2 ...m k , т.е. полную систему вычетов.
Формулировка для колец
Пусть
- коммутативные ассоциативные кольца с единицей, 
сюрьективные гомоморфизмы, обладающие свойством 
для всех 
. Тогда гомоморфизм 
, заданный формулой 
является сюрьективным. Более того, Φ опеределяет изоморфизм
.Если положить
, 
и определить гомоморфизмы следующим образом 
то мы получим арифметическую версию теоремы.
Также часто встречается следующая эквивалентная формулировка для колец, где Bi имеют форму A / Ii, φi являются естественными проекциями на A / Ii и требуется, чтобы Ii + Ij = A для любых
.Заключение
История арифметики остатков начинается с исследований К.Ф. Гаусса, который впервые стал рассматривать сравнения. В дальнейшем была обнаружена связь теории сравнений с астрономическими задачами (китайская теорема об остатках). В результате многочисленных исследований теория остатков была распространена на кольца произвольной природы. В последнее время обнаружилось приложение этой теории в криптографии. В дипломной работе изложена теория остатков на современном алгебраическом языке.
Список использованных источников
1. С. Ленг, Алгебра, М., 1968
2. С. Коунтинхо, Введение в теорию чисел. Алгоритм RSA, М. 2001
3. А.И. Кострикин, Введение в алгебру, М., 2000
4. О. Зарисский, Коммутативная алгебра, т.1., М., 1963