Теория остатков (стр. 4 из 10)
· Если система S состоит из одних только обратимых элементов кольца R, канонический гомоморфизм кольца R в S-1R превращается в изоморфизм, так как каждая дробь r/s оказывается сократимой в кольце R.
· Если кольцо R' является подкольцом кольца R, то множество всех элементов из R', обратимых в кольце R, образует регулярную мультипликативную систему S в кольце R'. Тогда каждой дроби r/s однозначно соответствует некоторый элемент кольца R. Множество всех таких элементов кольца R образует кольцо частных кольца R' в кольце R.
Примеры
· Полем частных кольца целых чисел
является поле рациональных чисел 
.· Степени числа 10 в
образуют мультипликативную систему. Кольцом частных по ней будет кольцо конечных десятичных дробей.· Полем частных кольца многочленов k[X1,X2,...,Xn] над полем k будет поле рациональных функций k(X1,X2,...,Xn).
· Пусть
— простой идеал в R. Тогда дополнение к нему - мультипликативная система. Кольцо частных по ней называется локализацией кольца R по простому идеалу .· Чётные числа в
образуют простой идеал. Локализацией кольца по нему будет кольцо рациональных дробей, у которых в несократимом виде знаменатель — нечётное число.2.3 Евклидовы кольца
Неформально, евклидово кольцо — в абстрактной алгебре — кольцо, в котором «работает» алгоритм Евклида.
Евклидово кольцо — это область целостности R, для которой определена евклидова функция (евклидова норма)
, причём 
, и возможно деление с остатком, по норме меньшим делителя, то есть для любых 
имеется представление a = bq + r, для которого d(r) < d(b). Часто на евклидову норму накладывают дополнительное ограничение:
для любых a и ненулевых b из кольца R. Если на R задана норма, не удовлетворяющая этому условию, её можно поправить, переопределив: 
Такая норма нужному неравенству удовлетворяет, однако прежний алгоритм деления с остатком уже не годится — его тоже надо поправлять. Пусть
таков, что d'(b) = d(bx). Разделим с остатком ax на bx: ax = bxq' + r'x, где r' = a − bq' и d(r'x) < d(bx) = d'(b). Так как из определения 
, мы получили представление a = bq' + r' с d'(r') < d'(b), что и требовалось.Тем не менее бонусов от такой нормы не так много — все обратимые элементы имеют одно и то же значение нормы, причём минимальное из всех (конечных), собственные делители элемента a имеют меньшее значение нормы, а также упрощается непосредственное доказательство факториальности евклидовых колец (без ссылки на факториальность колец главных идеалов, доказательство чего требует применения трансфинитной индукции). Основные же свойства евклидовых колец остаются в силе и без этого дополнительного свойства.
· Кольцо целых чисел Z. Пример евклидовой функции — абсолютное значение
.· Кольцо целых гауссовых чисел Z[i] (где i — мнимая единица, i2 = − 1) с нормой d(a + ib) = a2 + b2 — евклидово.
· Произвольное поле K является евклидовым кольцом с нормой, равной 1 для всех элементов, кроме 0.
· Кольцо многочленов в одной переменной K[x] над полем K. Пример евклидовой функции — степень deg.
· Кольцо формальных степенных рядов K[[x]] над полем K является евклидовым кольцом. Норма степенного ряда — номер первого ненулевого коэффициента в нём (для нулевого ряда норма равна минус бесконечности).
· Обобщая предыдущий пример, всякое локальное кольцо является евклидовым, если в нём максимальный идеал является главным и пересечение всех его степеней состоит только из нуля. Норма обратимого элемента — 0, необратимого ненулевого — равна максимальной степени максимального идеала, которая содержит данный элемент, а норма нуля — минус бесконечность.
· Кольцо функций H(K), голоморфных на связном компакте K в C (каждая из них должна быть голоморфна в какой-нибудь окрестности этого компакта; две такие функции считаются равными в H(K), если они совпадают в некоторой окрестности K), тоже евклидово. За норму ненулевой функции принимается число нулей (с учётом кратности), которые она принимает на K.
· Счётное пересечение евклидовых колец (подколец в каком-нибудь кольце) не обязано быть евклидовым кольцом (и даже нётеровым или факториальным). Например, кольцо функций H(D), голоморфных в открытом круге D, является пересечением евклидовых колец функций H(K), голоморфных на замкнутых кругах K, содержащихся внутри D (см. предыдущий пример), однако оно ни нётерово, ни факториально, соответственно, и неевклидово.
· Кольцо частных S-1R евклидова кольца R по мультипликативной системе S тоже является евклидовым. Нормой дроби x из S-1R принимается
, где dR — евклидова норма в R, а dS — норма в S-1R.Деление с остатком определяется так. Пусть есть две ненулевые дроби x = r / t и y из S-1R. По определению нормы в S-1R существует элементы u в R и s в S, такие что y = u / s и dS(y) = dR(u). Произведём деление с остатком в кольце R элементов rs и u:
rs = uq + r', так что dR(r') < dR(u). Тогда r / t = (u / s)(q / t) + r' / ts. Из построения следуют неравенства
.· Евклидовыми являются кольца конечных двоичных и конечных десятичных дробей, так как они являются кольцами частных кольца целых чисел Z.
· Евклидовыми являются кольца рациональных функций над полем C с фиксированными полюсами, так как такие кольца являются кольцами частных кольца многочленов C[x].
В евклидовом кольце осуществим алгоритм Евклида нахождения наибольшего общего делителя двух чисел (элементов). Пусть изначально даны два элемента a0 и a1, причём
и 
. Деление с остатком даёт элемент a2 = a0 − a1q1 с d(a2) < d(a1). Если он не равен нулю, можно опять применить деление с остатком, и получить элемент a3 = a1 − a2q2, и т. д. Таким образом генерируется цепочка значений 
с 
. Однако эта цепочка прерывается, поскольку всякое число из 
может строго превосходить лишь конечное количество других таких чисел. Это означает, что при некотором n остаток an+1 равен нулю, а an не равен, он и есть НОД элементов a0 и a1. Следовательно, в евклидовом кольце гарантировано завершение алгоритма Евклида. Строго говоря, именно в евклидовых кольцах и возможна реализация алгоритма Евклида. · В евклидовом кольце каждый идеал — главный (в частности, все евклидовы кольца нётеровы).
o Пусть I — произвольный идеал в евклидовом кольце. Если он содержит лишь 0, — он главный. В противном случае среди его ненулевых элементов найдётся элемент f с минимальной нормой (принцип минимума для натуральных чисел). Он делит все остальные элементы идеала: Если g — произвольный элемент идеала I, представим его в виде g = fq + r с d(r)<d(f). Тогда r - тоже элемент идеала I и он обязан быть нулём, так как его норма меньше, чем у f. Следовательно, идеал I содержится в идеале (f). С другой стороны, всякий идеал, содержащий элемент f, содержит идеал (f). Значит, I = (f) - главный идеал.
· Каждое евклидово кольцо факториально, то есть каждый элемент представим конечным произведением простых элементов, и притом однозначно (с точностью до их перестановки и умножения на обратимые элементы). Факториальность - общее свойство всех колец главных идеалов.