Топологические пространства (стр. 2 из 8)
Доказательство. В силу теоремы 1.6, достаточно из произвольного покрытия
множества А открытыми в Х множествами выбрать конечное подпокрытие. Для этого добавим к этим множествам открытое множество Х \ А и получим открытое покрытие всего пространства Х. В силу компактности пространства Х, из этого покрытия можно выделить конечное подпокрытие, причём мы всегда можно считать, что в это подпокрытие входит множество Х \ А. Пусть, например, 
.Очевидно, что множества
образуют искомое конечное подпокрытие множества А. Определение 10. Топологическое пространство называется хаусдорфовым, если любые две его различные точки обладают непересекающимися окрестностями.
Теорема 1.8. Компактное подмножество А хаусдорфова пространства Х замкнуто.
Теорема 1.9. Непрерывный образ компактного пространства компактен, т.е. если f : Х→Y – непрерывное отображение и пространство Х компактно, то и множество f (Х) компактно.
Доказательство теорем 1.6 – 1.9 можно найти в [2].
§2. Связность непрерывных отображений
2.1. Определение связности отображения и простейшие свойства
Пусть f : Х→Y – непрерывное отображение. Для открытого в Y множества U и точки yÎY прообраз f –1(U) называется трубкой (над U), а прообраз f –1(y) называется слоем (над точкой y).
Определение 11.. Непрерывное отображение f : Х→Y называется несвязным над точкой yÎY, если существует такая окрестность Oy точки y, что трубка f –1(U) является несвязной над каждой окрестностью U Í Oy точки y.
Замечание 2. В данном определении достаточно рассматривать только связные окрестности U Í Oy, т.к., если U = U1
U2, где U1, U2 – непустые дизъюнктные открытые в U (а значит и в Y ) множества, тоf –1(U) = f –1(U1) f –1(U2), f –1(U1) ∩ f –1(U2) = Æ,
т.е. f –1(U) несвязно автоматически.
Определение 12. Непрерывное отображение f : Х→Y называется связным над точкой yÎY, если оно не является несвязным над точкой y, т.е. для любой окрестности Oy точки y существует такая связная окрестность U Í Oy точки y, что трубка f –1(U) связна.
Определение 13. Непрерывное отображение f : Х→Y называется связным, если оно связно над каждой точкой y Î Y.
Теорема 2.1 (критерии несвязности). Пусть отображение f : Х→Y непрерывно и точка y Î Y. Тогда следующие условия эквивалентны:
(1) отображение f несвязно над точкой y Î Y;
(2) существует такая окрестность Oy точки y Î Y, что каждая трубка f –1(U) над окрестностью U Í Oy точки у распадается на два дизъюнктных непустых открытых в этой трубке множества;
(3) существует такая окрестность Oy точки y Î Y, что каждая трубка f –1(U) над окрестностью U Í Oy точки у распадается на два дизъюнктных непустых замкнутых в этой трубке множества;
(4) существует такая окрестность Oy точки y Î Y, что в каждой трубке f –1(U) над окрестностью U Í Oy точки у существует нетривиальное открыто-замкнутое в этой трубке множество;
(5) существует такая окрестность Oy точки y Î Y, что для каждой трубки f –1(U) над окрестностью U Í Oy точки у существует непрерывная сюръективная функция φ : f –1(U) ® {1, 2}.
Доказательство. Из (1) следует (2). Пусть непрерывное отображение f : Х→Y несвязное над точкой y Î Y, т.е. существует такая окрестность Oy точки y, что трубка f –1(U) является несвязной над каждой окрестностью U Í Oy точки y. Таким образом, трубка f –1(U) над окрестностью U Í Oy распадается на два дизъюнктных непустых открытых в этой трубке множества, т.е.
f –1(U) = О1 О2, О1 ∩ О2 = Æ.
Из (2) следует (3). Пусть трубка f –1(U) распадается на два дизъюнктных непустых открытых в этой трубке множества. Тогда, по теореме 1.2, трубка f –1(U) распадается на два дизъюнктных непустых замкнутых в этой трубке множества.
Из (3) следует (4). Пусть трубка f –1(U) распадается на два дизъюнктных непустых замкнутых в этой трубке множества. Тогда, по теореме 1.2, в трубке f –1(U) существует нетривиальное открыто-замкнутое в этой трубке множество.
Из (4) следует (5). Пусть в трубке f –1(U) существует нетривиальное открыто-замкнутое в этой трубке множество. Тогда, по теореме 1.2, для трубки f –1(U) существует непрерывная сюръективная функция φ : f –1(U) ® {1, 2}.
Из (5) следует (1). Пусть существует такая окрестность Oy точки y Î Y, что для трубки f –1(U) над некоторой окрестностью U Í Oy существует непрерывная сюръективная функция φ : f –1(U) ® {1, 2}. Тогда, по теореме 1.2, трубка f –1(U) распадается на два дизъюнктных непустых открытых в этой трубке множества. Отсюда, по определению несвязного над точкой отображения, следует, что отображение f несвязно над точкой y Î Y.
Определение 14. Отображение f : Х→Y называется послойно связным, если каждый слой f –1(y), где y Î Y, этого отображения является связным множеством.
Теорема 2.2 (о сохранении связности). Пусть отображения f : X ® Y и g : Z ® Y непрерывные и существует непрерывное сюръективное отображение φ : X ® Z, при котором f = g
φ. Тогда, если отображение f связно над точкой y Î Y (слой f –1(y) связен), то и отображение g связно над точкой y Î Y (слой g –1(y) связен). В частности, если отображнение f связно (послойно связно), то и отображение g связно (послойно связно).Доказательство. Пусть отображения f : X ®Y связное над точкой y Î Y, тогда для любой окрестности Oy точки y существует связная окрестность U Í Oy точки y, трубка над которой f –1(U) связна. Отображение φ непрерывное, значит (по теореме 1.5) образ связного множества f –1(U) (связного слоя f –1(y)) связен, т.е. множество φ(f –1(U)) (множество φ( f –1(y))) – связное.
Предположим, что отображение g несвязно над точкой y Î Y, т.е. существует такая связная окресность Oy точки y, что трубка g –1(U) является несвязной над каждой окрестностью U Í Oy точки y. (Предположим, что слой g –1(y) несвязен над точкой y Î Y).
По условию, f = g
φ, следовательно,f –1(U) = (g
φ) –1(U) = φ –1(g–1(U)).Отсюда,
φ(f –1(U)) = φ(φ–1(g–1(U))) =g–1(U)
(для слоя φ( f –1(y)) = g–1(y)). Получили противоречие, т.к. множество φ( f –1(U)) связное (слой φ( f –1(y)) связен), а множество g–1(U) (слой g–1(y)) – нет.
Пусть отображнение f связно (послойно связное), тогда, по определению 10 (11), оно связно над каждой точкой y Î Y (каждый слой f –1(y) связен). Возьмём произвольную точку y Î Y. Если отображение f связно над этой точкой y Î Y (слой f –1(y) связен), то и отображение g связно над этой же точкой (слой g–1(y) связен). В силу произвольности выбора точки y, заключаем, что отображение g связно над каждой точкой y Î Y (послойно связно).
2.2. Замкнутые отображения. Связь связности и послойной связности
Определение 15. Отображение f : X→Y называется замкнутым, если для каждого замкнутого множества F Í Х образ f (F) является замкнутым множеством в Y.
Определение 16. Отображение f : X→Y называется замкнутым над точкой yÎY, если для всякой окрестности О слоя f –1(y) Ì Х найдётся окрестность Oy точки y, трубка над которой f –1(Oy) содержится в данной окрестности О слоя f –1(y):
f –1(y) Í f –1(Oy) Í О.
Связь между замкнутостью в точке и общей замкнутостью устанавливает следующая