Топологические пространства (стр. 3 из 8)
Лемма 2.1. Непрерывное отображение f : X→Y замкнуто тогда и только тогда, когда оно замкнуто над каждой точкой yÎY.
Доказательство. Необходимость. Пусть отображение f : X→Y замкнуто. Возьмём произвольную точку y Î Y и рассмотрим окрестность О множества f –1(y). Множество F = X \ О замкнуто в Х и F ∩ f –1(y) = Æ. Поэтому множество f (F) замкнуто в Y и точка y Ï f(F). Значит окрестность Oy = Y \ f (F) точки y обладает таким свойством f –1(Oy) ∩ F = Æ, следовательно, f –1(Oy) Ì О. Таким образом, отображение f замкнуто над каждой точкой yÎY в силу того, что точка y взята произвольно.
Достаточность. Пусть непрерывное отображение f замкнуто над каждой точкой yÎY. Предположим, что образ f (F) некоторого замкнутого в Х множества F не замкнут в Y. Пусть точка y Î [f(F)] \ f(F), т.е. принадлежит границе множества f (F). Множество X \ F является окрестностью множества f –1(y). Следовательно, существует такая окресность Oy точки y, что f –1(Oy) Ì X \ F. Но тогда Oy ∩ f (F) = Æ и поэтому точка y Ï [f (F)].
Получили противоречие. Отсюда, отображение f замкнуто.
Следующие утверждения указывают на некоторые важнейшие примеры замкнутых отображений.
Предложение 2.1. Непрерывное отображение f : X ® Y компактного пространства X в хаусдорфово пространство Y является замкнутым.
Доказательство. Рассмотрим произвольное множество F, замкнутое в Х. Оно будет компактным (по теореме 1.7). Тогда непрерывный образ f (F) компактного множества F будет компактен в Y (по теореме 1.9). Пространство Y хаусдорфово, следовательно, множество f (F) – замкнуто (в силу теоремы 1.8). Таким образом, отображение f является замкнутым.
Следствие 2.1. Биективное непрерывное отображение f : X ® Y компактного пространства X на хаусдорфово пространство Y является гомеоморфизмом.
Доказательство. Рассмотрим произвольное замкнутое подмножество F компактного пространства X. В силу предложения 2.1, образ f (F) – замкнутое множество. Тогда, по теореме 1.1, отображение f –1 является непрерывным, следовательно, f – гомеоморфизм.ÿ
Предложение 2.2. Пусть отображение f : X ® Y замкнуто над точкой y Î Y и пусть множество Z замкнуто в X. Тогда подотображение g = f |Z : Z ® Y замкнуто над точкой y. В частности, если отображение f замкнуто (над каждой точкой y Î Y), то и отображение g замкнуто.
Доказательство. Возьмём произвольную точку y Î Y и рассмотрим окрестность U Ì Z слоя g–1(y). Тогда в Х найдётся открытое множество U¢ такое, что U = U¢
Z. Множество O = U¢ 
(X \ Z) будет окрестностью слоя f –1(y) . Отображение f замкнутое над точкой y Î Y, поэтому найдётся такая окрестность Oy точки y, что f –1(Oy) Ì O. Тогда g–1(Oy) Ì Z O = Z U¢ = U.В силу произвольности выбора точки y Î Y, можно заключить, что если отображение f замкнутое над каждой точкой y Î Y, то и отображение g замкнутое над каждой точкой y Î Y.
Предложение 2.3. Пусть отображение f : X ® Y замкнуто над точкой y Î T Í Y, где T – произвольное множество в Y. Тогда под-отображение g = f | 
: f –1(T) ® T замкнуто над точкой y. В частности, если отображение f замкнуто (над каждой точкой y Î T), то и отображение g тоже замкнуто (над каждой точкой y Î T).
Доказательство. Возьмём произвольную точку y Î T Í Y и некоторую окрестность О слоя g–1(y) = f –1(y), такую что
O = O'
f –1(T),где О¢ – открытое в Х множество. Так как отображение f замкнутое над точкой y, найдётся такая окрестность O'y в Y точки y, что f –1(O'y) Ì О'. Тогда в Т существует такая окрестность Oy точки y, что Oy = Oy'
T, и f –1(Oy) = g–1(Oy) Ì O' f –1(T) = О. Следовательно, отображение g будет замкнуто над y Î Y.Если отображение f замкнутое над каждой точкой y, то и отображение g будет замкнутым над каждой точкой y.
Установим теперь связь между связными и послойно связными замкнутыми отображениями.
Предложение 2.4. Пусть отображение f : X→Y замкнуто над точкой y Î Y и слой f –1(y) является несвязным множеством. Тогда отображение f несвязное над точкой y. В частности, если отображение f замкнуто и каждый его слой несвязен, то оно несвязное над каждой точкой y Î Y.
Доказательство. Поскольку слой f –1(y) является несвязным множеством, то найдутся такие непустые открытые в f –1(y) множества О1 и О2, что О1 ∩ О2 = Æ и О1 О2 = f –1(y). Тогда в Х существуют открытые множества Q1 и Q2 такие, что
O1 = Q1
f –1(y), O2 = Q2 f –1(y).Рассмотрим замыкание этих множеств
и 
в Х. Их пересечение 
есть замкнутое множество, и F f –1(y) = Æ (т.к. О1 и О2 замкнутые в f –1(y), как дополнения до открытых). Множество О = (Q1 Q2) \ F открыто в Х, причём f –1(y) Ì О. Для этой окрестности О (в силу замкнутости отображения f ) найдётся такая окрестность Oy точки y, что f –1(Oy) Ì О. Пусть G1 = f –1(Oy) Q1 и G2 = f –1(Oy) Q2 – открытые в f –1(Oy) множества. Так как 
Ì Х \ f –1(Oy),то G1 ∩ G2 = Æ. Тогда f –1(Oy) = G1 
G2. Следовательно, трубка f –1(Oy) несвязна.
Пусть U Í Oy – произвольная окрестность точки y. Тогда
и 
– дизъюнктные множества, открытые в f –1(U), и непустые, т.к. О1 Ì 
и О2 Ì 
. Следовательно, для любой окрестности U Í Oy трубка f –1(U) несвязна. Отображение f несвязно над точкой y по определению.Если отображение f замкнутое над каждой точкой y Î Y и каждый его слой несвязн, тогда, для произвольной точки y, отображение f будет несвязным над ней, следовательно, и над каждой точкой y Î Y.
Из установленного предложения автоматически вытекает
Следствие 2.2. Пусть отображение f : X→Y замкнуто над точкой y Î Y и связно над точкой y. Тогда слой f –1(y) является связным множеством. В частности, если f замкнутое и связное отображение, то оно послойно связное.
Предложение 2.5. Пусть отображение f : X→Y замкнутое и послойно связное. Тогда оно связное.
Доказательство. Возьмём произвольную точку y Î Y и предположим, что отображение f несвязно над точкой y. Тогда существует такая окрестность Oy точки y, что трубка f –1(U) является несвязной над каждой окрестностью U Í Oy точки y. Зафиксируем некоторую такую связную окрестность U, для которой выполняются следующие условия: